問題文全文(内容文)：
$3$以上$9999$以下の奇数$a$で、$a^2-a$が$10000$で割り切れるものをすべて求めよ。

東大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 0以上9999以下の整数を4桁で表示し、以下の操作を行うこととする。\\
ただし、 4桁で表示するとは、整数が100以上999以下の場合は千の位の数字を0、\\
10以上99以下の場合は千の位と百の位の数字を0、1以上9以下の場合は\\
千の位と百の位と十の位の数字を0、そして0はどの位の数字も0とすることである。\\
操作:千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と\\
一の位の数字を入れ換える。\\
また、整数Lに対し、操作によって得られた整数を\bar{ L }と表す。\\
(1) Mを0以上9999以下の整数とし、M=100x+yのように整数x, y (0 \leqq x \leqq 99,\\
0 \leqq y \leqq 99)を用いて表す。操作によって得られた\bar{ M } がMの\\
\frac{2}{3}倍に3を足した数 に等しいならば、\\
-197x+298y = 9が成り立つことを証明せよ。\\
(2) Nが0以上 9999 以下の整数ならば、操作によって\\
得られた整数\bar{ N }はNの\frac{2}{3}倍に1を足した数と等しくならないことを証明せよ。\\
\end{eqnarray}

2022千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ 次の問いに答えよ。\\
(1)aを実数とする。y=axのグラフとy=x|x-2|のグラフの交点の個数が\\
最大となるaの範囲を求めよ。\\
(2)0 \leqq a \leqq 2とする。S(a)をy=axのグラフとy=x|x-2|のグラフで\\
囲まれる図形の面積とする。S(a)をaの式で表せ。\\
(3)(2)で求めたS(a)を最小にするaの値を求めよ。
\end{eqnarray}

2022千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$n$を自然数とするとき、$n^2$は$3$の倍数か、または$3$で割った余りが$1$であることを証明せよ。
(2)自然数$a,b,c$が$a^2+b^2=c^2$を満たすとき、$a,b$のうち少なくとも$1$つは$3$の倍数出あることを証明せよ。

数学入試問題過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 座標平面において、原点Oと点A(1,0)と点B(0,1)がある。0 \lt t \lt 1に対し、\\
線分BO,OA,ABのそれぞれをt:(1-t)に内分する点をP,Q,Rとする。\\
(1)\triangle PQRの面積をtの式で表せ。\\
(2)\triangle PQRが二等辺三角形になるときのtの値を全て求めよ。\\
(3)\theta = \angle RPQとする。(2)それぞれの場合に\cos\thetaを求めよ。
\end{eqnarray}

2022千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\log_{10}2+\log_{10}3$は無理数であることを証明せよ。

学習院大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ kを実数とし、整式f(x)を\hspace{180pt}\\
f(x)=x^4+6x^3-kx^2+2kx-64\\
で定める。方程式f(x)=0が虚数解をもつとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)f(x)はx-2で割り切れることを示せ。\\
(2)方程式f(x)=0は負の実数解をもつことを示せ。\\
(3)方程式f(x)=0の全ての実数解が整数であり、\\
すべての虚数解の実部と虚部が共に整数であるとする。\\
このようなkを全て求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3$

大阪工業大学

問題文全文(内容文)：
$p$は奇数である素数とし、$N=(p+1)(p+3)(p+5)$とおく。
(1)$N$は$48$の倍数であることを示せ。
(2)$N$は$144$の倍数になるような$p$の値を小さい順に$3$つ求めよ。

千葉大過去問

問題文全文(内容文)：
$x^2+5y^2 = 21$を満たす
整数x,yの組をすべて求めよ（x>y）

青山学院高等部

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 円周を12等分するように点A_1,A_2,A_3,\ldots,A_{12}が時計回りに並んでいる。\\
また、白球2個と黒球4個が入った袋がある。点Pを、次の操作によって\\
12個の点上を移動させる。\\
操作:袋から球を一つ取り出した後にサイコロを投げる。白球ならば時計回りに、\\
黒球ならば反時計回りに、サイコロの目の数だけPを移動させる。\\
取り出した球は袋に戻さないこととする。\\
Pを最初に点 A_1に置く。操作を1回行い、PがA_1から移動した点をQとおく。\\
続けて操作を1回行い、PがQから移動した点をRとおく。\\
もう一度操作を行い、 PがRから移動した点をSとおく。\\
(1) R=A_1となる確率を求めよ。\\
(2)3点Q, R, Sを結んでできる図形が正三角形となる確率を求めよ。\\
\end{eqnarray}

2022千葉大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
方程式$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$を満たす正の整数の組$(x,y,z)$をすべて求めよ。

京都大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 座標空間内の4点\\
O(0,0,0),A(1,1,0),B(2,1,2),P(4,0,-1)\\
を考える。3点O,A,Bを通る平面を\alphaとし、\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },
\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB }とおく。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)ベクトル\overrightarrow{ a },\ \overrightarrow{ b }の両方に垂直であり、x成分が正であるような、大きさが1\\
のベクトル\overrightarrow{ n }を求めよ。\\
(2)点Pから平面\alphaに垂線を下ろし、その交点をQとおく。\\
線分PQの長さを求めよ。\\
(3)平面\alphaに関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
pは素数であり,nを自然数とする.
$f(n)=n^p-n,f(n+1)-f(n)$はpの倍数であることを示せ.

琉球大過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$a,b,c$が整数で、$1≦a≦b≦c$かつ$abc=a+b+c$のとき、$ab≦3$であることを示せ。
(2)$1≦a≦b≦c$かつ$abc=a+b+c$を満たす整数$a,b,c$をすべて求めよ。

東京女子大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。\\
x=5\cos t+\cos5t,　y=5\sin t-\sin5t　(-\pi \leqq t \lt \pi)\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)区間0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}において、\frac{dx}{dt} \lt 0,　\frac{dy}{dx} \lt 0であることを示せ。\\
(2)曲線Cの0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}の部分、x軸、直線y=\frac{1}{\sqrt3}xで囲まれた\\
図形の面積を求めよ。\\
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を\\
原点を中心として反時計回りに\frac{\pi}{3}だけ回転させた点はC上\\
にあることを示せ。\\
(4)曲線Cの概形を図示せよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$(2\times3\times5\times7\times11\times13)^{10}$の桁数は？

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ aを-3 \lt a \lt 13を満たす実数とし、次の曲線Cと直線lが接しているとする。\\
C:y=|x^2+(3-a)x-3a|,　l:y=-x+13\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)aの値を求めよ。\\
(2)曲線Cと直線lで囲まれた2つの図形のうち、点(a,0)が境界線上にある図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
整式$P(x,y,z)=xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y$
$+2z-6$を考える。

(1)$P(x,y,z)$を因数分解せよ。
(2)$P(0,y,z)=1$を満たす整数の組$(y,z)$を全て求めよ。
(3)$xyz-3xy-2xz-yz+6x+3y+2z-7=0$を満たす自然数の組$(x,y,z)$を全て求めよ。

富山大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}}\ xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。\\
x=5\cos t+\cos5t,　y=5\sin t-\sin5t　(-\pi \leqq t \lt \pi)\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)区間0 \lt t \lt \frac{\pi}{6}において、\frac{dx}{dt} \lt 0,　\frac{dy}{dx} \lt 0であることを示せ。\\
(2)曲線Cの0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{6}の部分、x軸、直線y=\frac{1}{\sqrt3}xで囲まれた\\
図形の面積を求めよ。\\
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を\\
原点を中心として反時計回りに\frac{\pi}{3}だけ回転させた点はC上\\
にあることを示せ。\\
(4)曲線Cの概形を図示せよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
因数分解せよ
$(a+b)x^2-2ax+a-b$

北海学園大学

問題文全文(内容文)：
$ x^2+y^2<9,x^2\leqq y^2$を満たす整数の組$(x,y)$は全部で$\Box$個ある。

慶應義塾大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。\\
区間a \leqq x \leqq bで連続な関数f(x)に対してF'(x)=f(x)となるF(x)を1つ選び、\\
f(x)のaからbまでの定積分を\\
\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①\\
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。\\
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。\\
(A)\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx\\
(B) a \leqq c \leqq bのとき、\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx\\
(C)区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \geqq h(x)ならば、\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx\\
ただし、f(x),g(x),h(x)は区間a \leqq x \leqq bで連続な関数、k,lは定数である。\\
以下、f(x)を区間0 \leqq x \leqq 1で連続な増加関数とし、\\
nを自然数とする。定積分の性質\boxed{\ \ ア\ \ }を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、\\
\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②\\
が成り立つことがわかる。S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})とおくと、\\
不等式②と定積分の性質\boxed{\ \ イ\ \ }より次の不等式が成り立つ。\\
0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③\\
よって、はさみうちの原理より\lim_{n \to \infty}S_n=\int_0^1f(x)dxが成り立つ。\\
\\
\\
(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)が\\
成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。\\
また、この等式と定積分の定義①を用いて、性質(A)でk=l=1とした場合の等式\\
\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx　を示せ。\\
(2)定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。\\
a \lt bのとき、区間a \leqq x \leqq bにおいてg(x) \gt 0ならば、\int_a^bg(x)dx \gt 0\\
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ ア\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、\\
不等式②を示せ。\\
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄\boxed{\ \ イ\ \ }に入る記号として最もふさわしいものを\\
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。\\
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\sqrt{n^2-8n+1}$が整数となる整数$n$の個数は、$\Box$個あり、最も大きい$n$の値は$\Box$である。

立命館大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ 自然数m,nが\\
n^4=1+210m^2　　\ldots①\\
を満たすとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)\frac{n^2+1}{2},\ \frac{n^2-1}{2}は互いに素な整数であることを示せ。\\
(2)n^2-1は168の倍数であることを示せ。\\
(3)①を満たす自然数の組(m,n)を1つ求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$m$を定数とする。連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\vert x \vert+y=2 \\
x^2-2y^2+5\vert x \vert +7y-9=m
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
が実数解をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ。

広島修道大過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ nを3以上の自然数、\alpha,\betaを相異なる実数とするとき、以下の問いに答えよ。\\
(1)次を満たす実数A,B,Cと整式Q(x)が存在することを示せ。\\
x^n=(x-\alpha)(x-\beta)^2Q(x)+A(x-\alpha)(x-\beta)+B(x-\alpha)+C\\
(2)(1)のA,B,Cをn,\alpha,\betaを用いて表せ。\\
(3)(2)のAについて、nと\alphaを固定して、\betaを\alphaに近づけたときの極限\\
\lim_{\beta \to \alpha}Aを求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}}\ 座標空間内の5点\hspace{220pt}\\
O(0,0,0),　A(1,1,0),　B(2,1,2),　P(4,0,-1),　Q(4,0,5)\\
を考える。3点O,A,Bを通る平面を\alphaとし、\overrightarrow{ a }=\overrightarrow{ OA },　\overrightarrow{ b }=\overrightarrow{ OB }とおく。\\
以下の問いに答えよ。\\
(1)ベクトル\overrightarrow{ a },　\overrightarrow{ b }の両方に垂直であり、x成分が正であるような、\\
大きさが1のベクトル\overrightarrow{ n }を求めよ。\\
(2)平面\alphaに関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。\\
(3)点Rが平面\alpha上を動くとき、|\overrightarrow{ PR }|+|\overrightarrow{ RQ }|が最小となるような\\
点Rの座標を求めよ。
\end{eqnarray}

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$33^{20}$を90で割った余りを求めよ.

愛媛大(医)過去問

問題文全文(内容文)：
$\frac{2}{x} + \frac{x-2}{x^2+x}$を簡単にせよ

千葉工業大学