定積分

大学入試問題#776「シグマの気持ち」　横浜国立大学(1996)

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} l o g {\frac{n}{n} ・ \frac{n + 2}{n} ・ \frac{n + 4}{n} ・ ・ ・ \frac{n + 2 (n - 1)}{n}}

出典：1996年横浜国立大学

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#広島市立大学(2016) #定積分 #Shorts

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#広島市立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2 x + 1)^{2}} d x

出典：2016年広島市立大学

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【高校数学】群馬大学医学部の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分96日目~47都道府県制覇への道~【㊴群馬】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【群馬大学(医) 2023】

x y

平面上において、不等式

(y e^{x})^{2} ≦ (s i n 2 x)^{2}, 0 ≦ x ≦ π

の表す領域を

D

とし、領域

D

と直線

x = a

の共通部分の線分の長さを

l (a)

とする。以下の問に答えよ。
(1)

l (a)

が

a = a_{0}

で最大となるとき、

t a n a_{0}

の値を求めよ。
(2)領域

D

の面積を求めよ。

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福田のおもしろ数学091〜定積分と軌跡

単元： #数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\int_{x}^{y} (| t | - 1) d t

=0 を満たす点(

x

,

y

)の軌跡を図示せよ。

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大学入試問題#775「ほぼ、詰んでる」　横浜国立大学(1998) #定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{2 π} x^{2} | \sin x | d x

出典：1998年横浜国立大学　入試問題

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【高校数学】筑波大学の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分95日目~47都道府県制覇への道~【㊳茨城】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【筑波大学 2023】

a, b

を実数とし、

f (x) = x + a s i n x, g (x) = b c o s x

とする。
(1) 定積分

\int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x

を求めよ。
(2)不等式

\int_{- π}^{π} {f (x) + g (x)}^{2} d x ≧ \int_{- π}^{π} {f (x)}^{2} d x

が成り立つことを示せ。
(3) 曲線

y = | f (x) + g (x) |

, 2直線

x = - π, x = π,

および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を

V

とする。このとき不等式

V ≧ \frac{2}{3} π^{2} (π^{2} - 6)

が成り立つことを示せ。さらに、等号が成立するときの

a, b

を求めよ。

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大学入試問題#774「基本的な良問」　横浜国立大学(1998) #定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{e - 1} \frac{l o g (l o g (x + 1))}{x + 1} d x

出典：1998年横浜国立大学　入試問題

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#広島市立大学(2016) #定積分 #Shorts

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#広島市立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{\cos^{3} x}{\sin^{2} x} d x

出典：2016年広島市立大学

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【高校数学】千葉大学の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分94日目~47都道府県制覇への道~【㊲千葉】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【千葉大学 2023】
等式

f (x) = x^{2} + \int_{- 1}^{2} (x f (t) - t) d t

を満たす関数

f (x)

を求めよ。

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【高校数学】埼玉大学の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分93日目~47都道府県制覇への道~【㊱埼玉】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#埼玉大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【埼玉大学 2017】
関数

f (x)

は微分可能で

f (x) = x^{2} e^{- x} + \int_{0}^{x} e^{t - x} f (t) d t

を満たすものとする。次の問いに答えよ。
(1)

f (0), f^{'} (0)

を求めよ。
(2)

f^{'} (x)

を求めよ。
(3)

f (x)

を求めよ。

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#会津大学(2023) #定積分 #Shorts

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- 2}^{1} x \sqrt{x + 3} d x

出典：2023年会津大学

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【高校数学】東京大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分92日目~47都道府県制覇への道~【㉟東京】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【東京大学 2024】
座標空間内に3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)をとり、D を線分ACの中点とする。三角形ABDの周および内部をx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。

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大学入試問題#771「たぶん良問！」　島根大学後期(2023) #定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#島根大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} \frac{2 x - 2}{2 x^{2} - 2 x + 1} d x

出典：2023年島根大学後期　入試問題

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#会津大学　2020年　#定積分　#Shorts

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{e} \sqrt{x} l o g x d x

出典：2020年会津大学

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【高校数学】横浜国立大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分91日目~47都道府県制覇への道~【㉞神奈川】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【横浜国立大学(後) 2023】

\int_{l o g \frac{π}{4}}^{l o g \frac{π}{2}} \frac{e^{2 x}}{{s i n (e^{x})}^{2}} d x

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大学入試問題#770「減点注意！」　千葉大学(2003) #微積の応用

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a

は定数とし、

n

は2以上の整数とする。
関数

f (x) = a x^{n} l o g x - a x (x > 0)

の最小値が-1のとき、定積分

\int_{1}^{e} f (x) d x

の値を

n

と

e

を用いて表せ。

出典：2003年千葉大学　入試問題

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#会津大学　2023年　#定積分　#Shorts

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{- 2} e^{\frac{1}{x}} d x

出典：2023年会津大学

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【高校数学】新潟大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分90日目~47都道府県制覇への道~【㉝新潟】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#新潟大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【新潟大学 2023】

a, b

を正の数とし、座標平面上の曲線

C_{1} : y = e^{a x}, C_{2} : y = \sqrt{2 x - b}

を考える。次の問いに答えよ。
(1)関数

y = e^{a x}

,と関数

y = \sqrt{2 x - b}

の導関数を求めよ。
(2)曲線

C_{1}

と曲線

C_{2}

が1点

P

を共有し、その点において共通の接線をもつとする。この時,

b

と点

P

の座標を

a

を用いて表せ。
(3) (2)において、曲線

C_{1}

,曲線

C_{2}

,

x

軸,

y

軸で囲まれる図形の面積を

a

を用いて表せ。

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【高校数学】山梨大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分89日目~47都道府県制覇への道~【㉜山梨】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【山梨大学 2023】
等式

f (x) = s i n 2 x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} t f (t) d t

を満たす関数

f (x)

を求めよ。

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【高校数学】信州大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分88日目~47都道府県制覇への道~【㉛長野】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【信州大学 2023】
tを実数とし、座標空間内の2点

P (0, 0, t^{2} - 1), Q (t, 1, e^{t} + e^{- t} - e - e^{- 1})

を考える。tを

- 1 ≦ t ≦ 1

の範囲で動かすとき、線分PQが通過してできる曲面および2平面

y = 1, z = 0

で囲まれてできる立体の体積を求めよ。

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【高校数学】静岡大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分87日目~47都道府県制覇への道~【㉚静岡】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#静岡大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【静岡大学 2023】
関数

f (x) = x^{3} e^{- x^{2}}

について、次の問いに答えよ。ただし、

e

は自然対数の底とする。必要ならば

lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{x^{2}}} = 0

を用いてもよい。
(1) 関数

f (x)

の増減を調べ、極値を求めよ。
(2)

a ＞ 0

とする。方程式

e^{x^{2}} - a x^{3} = 0

の実数解の個数を求めよ。
(3) 曲線

y = f (x)

と

x

軸および直線

x = 2

で囲まれた図形の面積を求めよ。

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名古屋大学2024年の確率と積分の融合問題をその場で解きながら解説してみた！#shorts #高校数学 #名古屋大学

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
名古屋大学2024年の確率と積分の融合問題をその場で解きながら解説してみた！

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【高校数学】富山大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分86日目~47都道府県制覇への道~【㉙富山】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#富山大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【富山大学 2023】
(1)

t = t a n \frac{x}{2} (- π ＜ x ＜ π)

とおく。
この時、

s i n x = \frac{2 t}{1 + t^{2}}, c o s x = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \frac{d x}{d t} = \frac{2}{1 + t^{2}}

であることを示せ。
(2) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{1 + s i n x + c o s x}

を求めよ。
(3) ２つの定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x, \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 c o s x}{1 + s i n x + c o s x} d x

が等しいことを示せ。
(4) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + 2 s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。
(5) 定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s i n x}{1 + s i n x + c o s x} d x

を求めよ。

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【高校数学】金沢大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分85日目~47都道府県制覇への道~【㉘石川】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#金沢大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【金沢大学 2024】
次の問いに答えよ。
(1) 関数

f (x) = e^{- x} s i n x

と

g (x) = e^{- x} c o s x

の導関数

f^{'} (x), g^{'} (x)

を求めよ。
(2) 整数

k

に対し、定積分

\int_{k π}^{(k + 1) π} e^{- x} s i n x d x

を求めよ。
(3) 極限

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n π} e^{- x} | s i n x | d x

を求めよ。

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【高校数学】岐阜大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分84日目~47都道府県制覇への道~【㉗岐阜】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#岐阜大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【岐阜大学 2024】
関数

f (x) = x^{2} - 1 - 2 x l o g x (x ＞ 0)

を考える。以下の問に答えよ。
ただし、

l o g x

は

x

の自然対数である。
(1) 関数

f (x)

を微分せよ。
(2) 曲線

y = f (x)

の変曲点の座標を求めよ。
(3) 曲線

y = f (x), x

軸, および2直線

x = \frac{1}{2}, x = 2

で囲まれた部分の面積

S

を求めよ。

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【高校数学】福井大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分83日目~47都道府県制覇への道~【㉖福井】【毎日17時投稿】

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#福井大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【福井大学 2023】

f (t) = 2 e^{t} - e^{2 t}, g (t) = t e^{t}

とし、

f (t)

が極大となる

t

の値を

α

、

f (t) = 0

となる

t

の値を

β

とする。

x y

平面上の曲線

C

を

x = f (t), y = g (t) (α ≦ t ≦ β)

で与える。以下の問いに答えよ。
(1)

α

と

β

の値を求めよ。
(2)

α ＜ t ＜ β

の範囲で、

\frac{d y}{d x}

を

t

の関数として表せ。
(3) 曲線

C

と

x

軸および

y

軸で囲まれた図形の面積を求めよ。

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【高校数学】名古屋大学2024年の手強い積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分82日目~47都道府県制覇への道~【㉕愛知】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【名古屋大学 2024】
袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を

p (0 ≦ p ≦ 1)

とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を

n

回行うとき、赤玉を

k

回以上取り出す確率を

f (k)

をおく。
(1)

n ≧ 2

に対して、

f (1), f (2)

を求めよ。
(2)

k = 1, 2, ･ ･ ･ ･ ･ ･, n

に対して、等式

f (k) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} \int_{0}^{p} x^{k - 1} (1 - x)^{n - k} d x

を示せ。
(3) 自然数

k

に対して、定積分

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{k} (1 - x)^{k} d x

を求めよ。

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【高校数学】ワイエルシュトラス置換って何!?毎日積分81日目~47都道府県制覇への道~【㉔三重】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#三重大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【三重大学 2009】

\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{1 + s i n θ - c o s θ} d θ

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【高校数学】滋賀医科大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分80日目~47都道府県制覇への道~【㉓滋賀】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#滋賀医科大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【滋賀医科大学 2023】
実数全体を定義域とする微分可能な関数

f (x)

は、常に

f (x) ＞ 0

であり、等式

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} e^{t} (1 + t) f (t) d t

を満たしている。
(1)

f (0)

を求めよ。
(2)

l o g f (x)

の導関数

(l o g f (x))^{'}

を求めよ。
(3) 関数

f (x)

を求めよ。
(4) 方程式

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}

を解け。

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【高校数学】毎日積分78日目~47都道府県制覇への道~【㉑奈良】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良教育大学#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【奈良教育大学 2023】
以下の問いに答えよ。
(1) 次の関数の導関数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
(i)

l o g | x + \sqrt{1 + x^{2}} |

(ii)

\frac{1}{2} (x \sqrt{1 + x^{2}} + l o g | x + \sqrt{1 + x^{2}} |)

(2)次の等式を示せ。

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{c o s^{3} x}{\sqrt{1 + s i n^{2} x}} d x = \frac{1}{2} {3 l o g (1 + \sqrt{2}) - \sqrt{2}}

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【高校数学】岐阜大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分84日目~47都道府県制覇への道~【㉗岐阜】【毎日17時投稿】

【高校数学】福井大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分83日目~47都道府県制覇への道~【㉖福井】【毎日17時投稿】

【高校数学】名古屋大学2024年の手強い積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分82日目~47都道府県制覇への道~【㉕愛知】【毎日17時投稿】

【高校数学】ワイエルシュトラス置換って何!?毎日積分81日目~47都道府県制覇への道~【㉔三重】【毎日17時投稿】

【高校数学】滋賀医科大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分80日目~47都道府県制覇への道~【㉓滋賀】【毎日17時投稿】

【高校数学】毎日積分78日目~47都道府県制覇への道~【㉑奈良】【毎日17時投稿】

大学入試問題#776「シグマの気持ち」　横浜国立大学(1996)

大学入試問題#775「ほぼ、詰んでる」　横浜国立大学(1998) #定積分

大学入試問題#774「基本的な良問」　横浜国立大学(1998) #定積分

大学入試問題#771「たぶん良問！」　島根大学後期(2023) #定積分

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大学入試問題#770「減点注意！」　千葉大学(2003) #微積の応用

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