問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$n$を$2$以上の整数とする。

$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、

横一列におかれている。

$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、

次の操作$(T_i)$を考える。

$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、

左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、

これら$2$枚の札の位置を入れ替える。

そうでなければ、札の位置を変えない。

最初の状態において札の数字は左から

$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。

この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を

順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作

$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、

札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。

以下の問いに答えよ。

(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。

(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方

$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。

$n$が$4$以上の整数であるとき、

$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$　正三角形ABCの頂点$A$に小石が置いてある。1秒ごとにこの小石は
隣の頂点のどちらかに等確率で移動する。$n$秒後にこの小石が頂点$A$
にある確率を$p_n$とするとき、$p_n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2019学習院大学過去問題
$Z_1=1$
$Z_{n+1}=iZ_n+2$
(1)$Z_{2019}$
(2)$Z_n$が通る円の中心と半径

問題文全文(内容文)：
年齢1の1つの個体から始めて、以下の操作1,2を$n$回おこなった後の全個体の年齢数の合計を$S_n$とする。
操作1.
　年齢1の各個体から年齢0の$k$個の個体を発生される。
　ただし、$k \gt 1$とする。

操作2.
　全個体の年齢をそれぞれ1増やす。

次の問いに答えよ。
（1）
$k=2$のとき$S_4$を求めよ。

（2）
操作1,2を$n$回おこなった後の平均年齢を$A_n$とするとき、$A_n \lt \displaystyle \frac{k}{k-1}$となることを示せ。

問題文全文(内容文)：
$a_1=\sqrt{ 3 }$
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{-1+\sqrt{ 1+a_n^2 }}{a_n}$を満たす一般項$a_n$を求めよ。