問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。

2021北里大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$　1年目の初めに新規に100万円を預金し、2年目以降の毎年初めに12万円を追加で預金する。ただし、毎年の終わりに、その時点での預金額の8%が利子として預金に加算される。自然数$n$に対して、$n$年目の終わりに利子が加算された後の預金額を$S_n$万円とする。このとき、以下の問いに答えよ。
ただし、$\log_{10}2$=0.3010,　$\log_{10}3$=0.4771とする。
(1)$S_1$,　$S_2$をそれぞれ求めよ。
(2)$S_{n+1}$を$S_n$を用いて表せ。
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ。
(4)$\log_{10}1.08$を求めよ。
(5)$S_n$＞513　を満たす最小の自然数$n$を求めよ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$n$を$2$以上の整数とする。

$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、

横一列におかれている。

$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、

次の操作$(T_i)$を考える。

$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、

左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、

これら$2$枚の札の位置を入れ替える。

そうでなければ、札の位置を変えない。

最初の状態において札の数字は左から

$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。

この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を

順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作

$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、

札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。

以下の問いに答えよ。

(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。

(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方

$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。

$n$が$4$以上の整数であるとき、

$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
数列 $\{a_{n}\}$ が
$a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots +na_{n}=n(n+1)$
を満たすとき、和 $a_{1}+a_{2}+\cdots a_{n}$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
初項から第$n$項までの和$S_n$が
次の式で表される数列$\{a_n\}$の一般項を求めよう.

①$S_n=n^2+2n+2$

②$S_n=a_{n}+(n-1)^2$