09奈良県教員採用試験(数学:4番 積分) - 質問解決D.B.(データベース)

09奈良県教員採用試験(数学:4番 積分)

問題文全文(内容文):
4⃣ $a_n = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n} - logn$
(1)$a_n>0$を示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n $が存在することを示せ。
単元: #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
4⃣ $a_n = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \cdots + \frac{1}{n} - logn$
(1)$a_n>0$を示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n $が存在することを示せ。
投稿日:2020.08.28

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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 色々な極限(7)\\
\lim_{n \to \infty}n^2(\cos\frac{1}{n+1}-\cos\frac{1}{2n})を求めよ。
\end{eqnarray}
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次の極限を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+2x+3}+x)$
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } (\displaystyle \frac{x\ \tan\ x}{\sqrt{ \cos2x }-\cos\ x}+\displaystyle \frac{x}{\tan2x})$

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問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
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指導講師: ますただ
問題文全文(内容文):
$a_1\times a_2\times・・・\times a_n=\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n!)^2}$のとき
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ

出典:2004年奈良女子大学 入試問題
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