福田のおもしろ数学368〜多項式と二項係数の関係式の証明 - 質問解決D.B.(データベース)

福田のおもしろ数学368〜多項式と二項係数の関係式の証明

問題文全文(内容文):
$P_k(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{k-1}$のとき、
$\displaystyle \sum^n_{k=1}{} _nC_kP_k(x)=2^{n-1}P_n(\dfrac{1+x}2)$
が成り立つことを証明せよ。
単元: #数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
$P_k(x)=1+x+x^2+\cdots +x^{k-1}$のとき、
$\displaystyle \sum^n_{k=1}{} _nC_kP_k(x)=2^{n-1}P_n(\dfrac{1+x}2)$
が成り立つことを証明せよ。
投稿日:2025.01.04

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問題文全文(内容文):

正の数$a,b,c,d$が

$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$

を満たすことを証明して下さい。
    
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$a:b:c=x:y:z$のとき、
次の等式が成り立つことを証明せよ。
$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$
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指導講師: JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文):
自然数の2乗となる数を平方数という。
(1)自然数a,n,kに対して、
$n(n+1)+a=(n+k)^2$が成り立つとき、
$a \geqq k^2+2k-1$
が成り立つことを示せ。
(2)$n(n+1)+14$が平方数となるような自然数nを全て求めよ。

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