福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第3問〜確率と数列の極限 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第3問〜確率と数列の極限

問題文全文(内容文):
${\Large\boxed{3}}$ $n$を自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
$2n+1$回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は
$n=2$の場合の例である。例$\textrm{a}$では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を
終了した。例$\textrm{b}$では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

$\begin{array}{c|ccccc}
& 1回目 & 2回目 & 3回目 & 4回目 & 5回目\\
\hline 例\textrm{a} & ⚃ & ⚅ & ⚀ & ⚁ & ⚀\\
例\textrm{b} & ⚂ & ⚅ & ⚄ \\
\end{array}\hspace{100pt}$

この実験において、$A$を「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数$k$に対し
$B_k$を「5未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする。一般に、事象Cの
確率を$P(C),C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す。

(1)$n=1$のとき、$P(B_1)=\boxed{\ \ サ\ \ }$である。

(2)$n=2$のとき、$P_{B_{2}}(A)=\boxed{\ \ シ\ \ }$である。
以下、$n \geqq 1$とする。

(3)$P_{B_{k}}(A)=1$となる$k$の値の範囲は$0 \leqq k \leqq K_n$と表すことができる。この$K_n$を
$n$の式で表すと$K_n=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。

(4)$p_k=P(A \cap B_k)$とおく。$0 \leqq k \leqq K_n$のとき、$p_k$を求めると$p_k=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
また、$S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{K_n}kp_k$ とおくと$\lim_{n \to \infty}S_n=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和(等差・等比・階差・Σ)#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
${\Large\boxed{3}}$ $n$を自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が
$2n+1$回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は
$n=2$の場合の例である。例$\textrm{a}$では、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を
終了した。例$\textrm{b}$では、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

$\begin{array}{c|ccccc}
& 1回目 & 2回目 & 3回目 & 4回目 & 5回目\\
\hline 例\textrm{a} & ⚃ & ⚅ & ⚀ & ⚁ & ⚀\\
例\textrm{b} & ⚂ & ⚅ & ⚄ \\
\end{array}\hspace{100pt}$

この実験において、$A$を「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数$k$に対し
$B_k$を「5未満の目が出た回数がちょうど$k$である」事象とする。一般に、事象Cの
確率を$P(C),C$が起こったときの事象$D$が起こる条件付き確率を$P_C(D)$と表す。

(1)$n=1$のとき、$P(B_1)=\boxed{\ \ サ\ \ }$である。

(2)$n=2$のとき、$P_{B_{2}}(A)=\boxed{\ \ シ\ \ }$である。
以下、$n \geqq 1$とする。

(3)$P_{B_{k}}(A)=1$となる$k$の値の範囲は$0 \leqq k \leqq K_n$と表すことができる。この$K_n$を
$n$の式で表すと$K_n=\boxed{\ \ ス\ \ }$である。

(4)$p_k=P(A \cap B_k)$とおく。$0 \leqq k \leqq K_n$のとき、$p_k$を求めると$p_k=\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
また、$S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{K_n}kp_k$ とおくと$\lim_{n \to \infty}S_n=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学理工学部過去問
投稿日:2021.02.23

<関連動画>

福田の数学〜慶應義塾大学2022年経済学部第3問〜データの分析と条件付き確率

アイキャッチ画像
単元: #数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#データの分析#データの分析#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ xの関数が印刷されているカード25枚が1つの袋に入っている。\\
その内訳は、11枚に1-3x、9枚に1-2x、4枚に1-2x+2x^2、1枚に1-3x+5x^2である。\\
この袋からカードを1枚取り出し、印刷されている関数を記録してから袋に戻すことを\\
100回繰り返したところ、記録の内訳は1-3xが46回、1-2xが35回、1-2x+2x^2が15回、\\
1-3x+5x^2が4回であった。\\
(1)記録された関数の実数xにおける値をa_1,a_2,\ldots,a_{100}とおく。\\
a_1,a_2,\ldots,a_{100}の平均値は、xの値を定めるとそれに対応して値が定まるので、\\
xの関数である。この関数はx=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}\ のとき最小となり、その値は-\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}\ である。\\
(2)記録された関数のx=0からx=1までの定積分をb_1,b_2,\ldots,b_{100}とおく。\\
b_1,b_2,\ldots,b_{100}の平均値は-\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}\ であり、分散は\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}\ である。\\
また、記録された関数のx=1における値をc_1,c_2,\ldots,c_{100}とおくとき、\\
100個のデータの組(b_1,c_1),(b_2,c_2),\ldots,(b_{100},c_{100})の共分散は\frac{\boxed{\ \ スセ\ \ }}{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}\ である。\\
(3)カードがすべて袋に入った状態から1枚取り出したとき、印刷されている\\
関数のx=1における値が負である条件の下で、その関数の0から1までの定積分\\
が負である条件つき確率は\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }}{\boxed{\ \ テト\ \ }}\ である。
\end{eqnarray}

2022慶應義塾大学経済学部過去問
この動画を見る 

福田の数学〜東京理科大学2023年創域理工学部第1問(1)〜確率の基本性質

アイキャッチ画像
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{1}$ (1)(a)1個のさいころを4回続けて投げるとき、4回とも同じ目が出る確率は
$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ アイウ\ \ }}$であり、3, 4, 5, 6の目がそれぞれ1回ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ エオ\ \ }}$である。
(b)1個のさいころを4回続けて投げて、出た目を順に左から並べて4桁の整数Nを作る。例えば、1回目に2、2回目に6、3回目に1、4回目に2の目がでた場合はN=2612である。Nが偶数となる確率は$\displaystyle\frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$であり、N≧2023 となる確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$であり、N≧5555 となる確率は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシス\ \ }}$である。
この動画を見る 

WASEDAを並べよ 早稲田高校

アイキャッチ画像
単元: #数A#場合の数と確率#数学(高校生)
指導講師: 数学を数楽に
問題文全文(内容文):
WASEDAの6文字を一列に並べるとき、全ての母音が隣り合っている並べ方は何通り?
早稲田高等学校
この動画を見る 

ロト7全パターン買ったらどうなるか?

アイキャッチ画像
単元: #数A#場合の数と確率#場合の数#数学(高校生)
指導講師: 【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文):
下記質問の解説動画です
ロト7を全パターン買ったらプラスですか?マイナスですか?
この動画を見る 

【理数個別の過去問解説】2020年度北海道大学 数学 第3問(1)(2)解説

アイキャッチ画像
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
nを2以上の自然数とする。一個のサイコロを続けてn回投げる試行を行い、
出た目を順に$X_1X_2・・・X_n$とする。
(1)$X_1X_2・・・X_n$の最大公約数が3となる確率を$n$の式で表せ。
(2)$X_1X_2・・・X_n$の最大公約数が1となる確率を$n$の式で表せ。
この動画を見る 
PAGE TOP