福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年理工学部第２問〜連立不等式の表す領域の面積と回転体の体積

問題文全文(内容文)：

r

を正の実数とし、円

C_{1} : (x - 2)^{2} + y^{2} = r^{2}

、楕円

C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1

を考える。
(1)円

C_{1}

と楕円

C_{2}

の共有点が存在するようなrの値の範囲は

カ ≦ r ≦ キ

である。
(2)

r = 1

のとき、

C_{1}

と

C_{2}

の共有点の座標を全て求めると

ク

である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を

y_{0}

とする。連立不等式

{\begin{matrix} (x - 2)^{2} + y^{2} ≦ 1 \\ 0 ≦ y ≦ y_{0} \end{matrix}

の表す領域の面積は

ケ

である。

(3)連立不等式

{\begin{matrix} (x - 2)^{2} + y^{2} ≦ 1 \\ \frac{x^{2}}{9} + y^{2} ≧ 1 \\ y ≧ 0 \end{matrix}

の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は

コ

である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

r

を正の実数とし、円

C_{1} : (x - 2)^{2} + y^{2} = r^{2}

、楕円

C_{2} : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1

を考える。
(1)円

C_{1}

と楕円

C_{2}

の共有点が存在するようなrの値の範囲は

カ ≦ r ≦ キ

である。
(2)

r = 1

のとき、

C_{1}

と

C_{2}

の共有点の座標を全て求めると

ク

である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を

y_{0}

とする。連立不等式

{\begin{matrix} (x - 2)^{2} + y^{2} ≦ 1 \\ 0 ≦ y ≦ y_{0} \end{matrix}

の表す領域の面積は

ケ

である。

(3)連立不等式

{\begin{matrix} (x - 2)^{2} + y^{2} ≦ 1 \\ \frac{x^{2}}{9} + y^{2} ≧ 1 \\ y ≧ 0 \end{matrix}

の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は

コ

である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

投稿日：2022.06.09

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問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(関数の極値➁)
Q.次の関数の極値を求めなさい

①

f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}

➁

f (x) = | x | \sqrt{x + 3}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

次の関数f(x)の最大値と最小値を求めよ。
f(x)=

e^{- x^{2}}

\frac{1}{4} x^{2}

+1+

\frac{1}{e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1}

　(-1≦x≦1)
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5

　曲線y=

\log x

上の点A(t,

\log t

)における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBのx座標はtより大きい。
(1)点Bの座標(u(t), v(t))を求めよ。また

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。
(2)実数rは0＜r＜1を満たすとし、tがrから1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ

L_{1} (r)

L_{2} (r)

とする。このとき、極限

lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

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x ≧ 0

をみたす全ての実数

x

について

x - \frac{x^{3}}{6} ≦ \sin x

が成り立つことを示せ

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\forall a, b

f (a + b) = f (a) + f (b) + 4 a b

f^{'} (0) = 2

（1）

f (0)

を求めよ

（2）

f (x)

は微分可能を示せ

f (x)

を求めよ

（3）

lim_{x \to \infty} \int_{1}^{x} \frac{1}{f (t)} d t (x > 1)

出典：2021年信州大学　入試問題

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