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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、$n$ は自然数とする。

$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq2\sqrt{n}-1$

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数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)

①$0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2}$の区間において、
曲線$x=\sinθ,y＝\sin2θ$と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。

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次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \frac{\sqrt x}{\sqrt[4]{x^3}+1}~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$
(3) $\displaystyle \int \log|x^2-1|~dx$
(4) $\displaystyle \int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}~dx$

次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \tan^4x~dx$
(2) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sin{2x}}$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-\sin x}~dx$
(4) $\displaystyle \int (\sin^3x-\cos^3x)~dx$

次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int e^x\cos x~dx$
(2) $\displaystyle \int e^{-x}\sin x~dx$

次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle \int \sin x\log(\cos x)~dx$
(2) $\displaystyle \int x\tan^2x~dx$
(3) $\displaystyle \int \frac{1}{1-e^x}~dx$

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直円柱$x^2+y^2=4x$
$xy$平面,曲面$Z=xy^2$で囲まれた体積$V$を求めよ.

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$\Large\boxed{1}$ 実数$\displaystyle\int_0^{2023}\frac{2}{x+e^x}dx$の整数部分を求めよ。

2023東京工業大学理系過去問