福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第2問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜青山学院大学2022年理工学部第2問〜平面ベクトルの直交と絶対値の最小

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 四面体OABCは\hspace{231pt}\\
OA=OB=2,\ \ \ OC=3,\ \ \ AB=1,\ \ \ BC=4\hspace{31pt}\\
を満たすとする。また、三角形ABCの重心をGとするとき、OG=\sqrt2である。\\
(1)\ \overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},\ \ \ \overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OC
}=\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}\hspace{110pt}\\
(2)\ \overrightarrow{ OG }と\overrightarrow{ OA }+k\overrightarrow{ OB }が垂直であるのはk=\boxed{\ \ カキ\ \ }\ のときである。\hspace{42pt}\\
(3)\ tを実数とする。|t\overrightarrow{ OA }-2t\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }|\ の最小値は\frac{\sqrt{\boxed{\ \ クケコ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}であり、\hspace{10pt}\\
そのときのtの値は\frac{\boxed{\ \ シス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ である。\hspace{150pt}
\end{eqnarray}
単元: #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\large\boxed{2}}\ 四面体OABCは\hspace{231pt}\\
OA=OB=2,\ \ \ OC=3,\ \ \ AB=1,\ \ \ BC=4\hspace{31pt}\\
を満たすとする。また、三角形ABCの重心をGとするとき、OG=\sqrt2である。\\
(1)\ \overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }},\ \ \ \overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OC
}=\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}\hspace{110pt}\\
(2)\ \overrightarrow{ OG }と\overrightarrow{ OA }+k\overrightarrow{ OB }が垂直であるのはk=\boxed{\ \ カキ\ \ }\ のときである。\hspace{42pt}\\
(3)\ tを実数とする。|t\overrightarrow{ OA }-2t\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{ OC }|\ の最小値は\frac{\sqrt{\boxed{\ \ クケコ\ \ }}}{\boxed{\ \ サ\ \ }}であり、\hspace{10pt}\\
そのときのtの値は\frac{\boxed{\ \ シス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\ である。\hspace{150pt}
\end{eqnarray}
投稿日:2022.09.27

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\begin{eqnarray}
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=-\frac{2}{3}および\overrightarrow{ OC }=-\overrightarrow{ OA }を満たすとする。tを0 \lt t \lt 1を満たす\\
実数とし、線分ABをt:(1-t)に内分する点をPとする。\\
また、直線OP上に点Qをとる。\\
\\
(1)\cos\angle AOB=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }} である。\\
また、実数kを用いて、\overrightarrow{ OQ }=k\overrightarrow{ OP }と表せる。したがって\\
\overrightarrow{ OQ }=\boxed{\ \ エ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ オ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }  \ldots\ldots\ldots\ldots①\\
\overrightarrow{ CQ }=\boxed{\ \ カ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ キ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OP }が垂直となるのは、t=\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} のときである。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ } ~ \boxed{\ \ キ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪kt  ①(k-kt)  ②(kt+1)\\
③(kt-1)  ④(k-kt+1)  ⑤(k-kt-1)\\
\\
以下、t ≠\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}とし、\angle OCQが直角であるとする。\\
\\
(2)\angle OCQが直角であることにより、(1)のkは\\
k=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }\ t-\boxed{\ \ シ\ \ }} \ldots②\\
となることがわかる。\\
\\
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Bを含む部分をD_1、含まない部分をD_2とする。また、平面\\
から直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。\\
そのうち、点Aを含む部分をE_1、含まない部分をE_2とする。\\
・0 \lt t \lt \frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}ならば、点Qは\boxed{\ \ ス\ \ }。\\
・\frac{\boxed{\ \ ク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }} \lt t \lt 1ならば、点Qは\boxed{\ \ セ\ \ }。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ス\ \ }、\boxed{\ \ セ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪D_1に含まれ、かつE_1に含まれる\\
①D_1に含まれ、かつE_2に含まれる\\
②D_2に含まれ、かつE_1に含まれる\\
③D_2に含まれ、かつE_2に含まれる\\
\\
\\
(3)太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|\overrightarrow{ OQ }|の関係について考えている。\\
t=\frac{1}{2}のとき、①と②により、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}とわかる。\\
\\
太郎:t≠\frac{1}{2}のときにも、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となる場合があるかな。\\
花子:|\overrightarrow{ OQ }|をtを用いて表して、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}\\
を満たすtの値について考えればいいと思うよ。\\
太郎:計算が大変そうだね。\\
花子:直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとしたら\\
|\overrightarrow{ OR }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるよ。\\
太郎:\overrightarrow{ OR }を\overrightarrow{ OA }と\overrightarrow{ OB }を用いて表すことができれば、\\
tの値が求められそうだね。\\
\\
\\
直線OAに関して、t=\frac{1}{2}のときの点Qと対称な点をRとすると\\
\overrightarrow{ CR }=\boxed{\ \ タ\ \ }\ \overrightarrow{ CQ }\\
=\boxed{\ \ チ\ \ }\ \overrightarrow{ OA }+\boxed{\ \ ツ\ \ }\ \overrightarrow{ OB }\\
となる。\\
t≠\frac{1}{2}のとき、|\overrightarrow{ OQ }|=\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}となるtの値は\frac{\boxed{\ \ テ\ \ }}{\boxed{\ \ ト\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル$\overrightarrow{ AB }と\overrightarrow{ AC }の内積は\overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=\fbox{ アイ }$であり、$\angle ABCの外接円の半径は\sqrt{\fbox{ウエ}}$である。$\angle ABC$の外接円の中心を点 P とすると、
$\overrightarrow{ AP }=\fbox{オ}\overrightarrow{ AB }+\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}}\overrightarrow{ AC }$
が成り立つ。
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