福田の数学〜東京工業大学2022年理系第3問〜直角三角形の頂点の軌跡 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜東京工業大学2022年理系第3問〜直角三角形の頂点の軌跡

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ \alphaは0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}を満たす実数とする。\angle A=\alphaおよび\angle P=\frac{\pi}{2}を満たす直角三角形APB\\
が、次の2つの条件(\textrm{a}),(\textrm{b})を満たしながら、時刻t=0から時刻t=\frac{\pi}{2}まで\\
xy平面上を動くとする。\\
(\textrm{a})時刻tでの点A,Bの座標は、それぞれA(\sin t,0),B(0, \cos t)である。\\
(\textrm{b})点Pは第一象限内にある。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を\alphaを用いて表せ。\\
(2)時刻t=0から時刻t=\frac{\pi}{2}までの間に点Pが動く道のりを\alphaを用いて表せ。\\
(3)xy平面内において、連立不等式\\
x^2-x+y^2 \lt 0, x^2+y^2-y \lt 0\\
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
\end{eqnarray}

2022東京工業大学理系過去問
単元: #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ \alphaは0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}を満たす実数とする。\angle A=\alphaおよび\angle P=\frac{\pi}{2}を満たす直角三角形APB\\
が、次の2つの条件(\textrm{a}),(\textrm{b})を満たしながら、時刻t=0から時刻t=\frac{\pi}{2}まで\\
xy平面上を動くとする。\\
(\textrm{a})時刻tでの点A,Bの座標は、それぞれA(\sin t,0),B(0, \cos t)である。\\
(\textrm{b})点Pは第一象限内にある。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)点Pはある直線上を動くことを示し、その直線の方程式を\alphaを用いて表せ。\\
(2)時刻t=0から時刻t=\frac{\pi}{2}までの間に点Pが動く道のりを\alphaを用いて表せ。\\
(3)xy平面内において、連立不等式\\
x^2-x+y^2 \lt 0, x^2+y^2-y \lt 0\\
により定まる領域をDとする。このとき、点Pは領域Dには入らないことを示せ。
\end{eqnarray}

2022東京工業大学理系過去問
投稿日:2022.03.31

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\begin{eqnarray}
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\\
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{9-8x+7\cos2x}-(a+bx)}{x^2}\\
\\
が有限の値となるa,bとそのときの極限値
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
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