【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用1 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
　

x ＞ 0

のとき、次の不等式を証明せよ。

(1)　

s i n x ＞ x - \frac{x^{2}}{2}

(2)　

1 - \frac{x}{2} ＜ \frac{1}{\sqrt{1 + x}} ＜ 1 - \frac{x}{2} + \frac{3 x^{2}}{8}

チャプター：

0:00　問題概要
0:50　(1)解説
3:13　証明方針のおさらい。2回微分をする理由
6:42　(2)解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
　

x ＞ 0

のとき、次の不等式を証明せよ。

(1)　

s i n x ＞ x - \frac{x^{2}}{2}

(2)　

1 - \frac{x}{2} ＜ \frac{1}{\sqrt{1 + x}} ＜ 1 - \frac{x}{2} + \frac{3 x^{2}}{8}

投稿日：2025.01.22

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指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
次の関数

f (x)

の最大値と最小値を求めよ。

f (x) = e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1 + \frac{1}{e^{- x^{2}} + \frac{1}{4} x^{2} + 1}

(- 1 ≦ x ≦ 1)

ただし、

e

は自然対数の底であり、その値は

e = 2.71 ･ ･ ･

である。

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問題文全文(内容文)：

4

関数

f (x)

を

f (x)

x^{2} (x - 3)

で定める。以下に答えなさい。
(1)関数

f (x)

は

x

ト

で極小値

ナ

をとる。
(2)曲線

y

f (x)

を

C

とする。点A(0,1)から曲線

C

へは2本の接線が引ける。
そのうち、傾きが正の接線を

l

とし、傾きが負の接線を

m

とするとき、直線

l

の方程式は

y

ニ

であり、直線

m

の方程式は

y

ヌ

である。
(3)曲線

C

と直線

l

の接点Pの

x

座標は

ネ

である。また、曲線

C

と直線

l

は2つの共有点をもつが、点Pとは異なる共有点Qの

x

座標は

ノ

である。さらに、曲線

C

と直線

l

で囲まれた図形の面積は

ハ

である。

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横浜市立（医）高校数学 Japanese university entrance exam questions

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
横浜市立大学過去問題
(1)

x^{3} - x^{2} - x + k = 0 (k > 1)

実根は1個であることを示せ。
(2)(1)の方程式の3根の絶対値はいずれも１より大きいことを示せ。

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問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式

x^{2} + x - k = 0

の二つの実数解を、

α, β

とする。

k が k ＞ 2

の範囲を動くとき,

\frac{α^{3}}{1 - β} + \frac{β^{3}}{1 - α}

の最小値を求めよ。

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【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用2 ※問題文は概要欄

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指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
　次のことが成り立つことを証明せよ。

(1)　

b ≧ a > 0

のとき　

l o g b - l o g a ≧ \frac{2 (b - a)}{(b + a)}

(2)　

0 ＜ α ＜ β ≦ \frac{π}{2}

のとき　

\frac{α}{β} < \frac{s i n α}{s i n β}

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