問題文全文(内容文)：
数列$\{a_{n}\}$に対して$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k(n=1,2,3,・・・)$とし、さらに$S_0=0$と定める。$\{a_n\}$は$S_n=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}(n+3)a_{n+1}$(n=0,1,2,・・・)を満たすとする。
(1)$a_1=\dfrac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}}$である。また、$n \geqq 1$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから、関係式$(n+\fbox{ウ})a_{n+1}=(n+\fbox{エ})a_n (n=1,2,3,・・・)$・・・(*)が得られる。数列$\{{b_n}\}$を$b_n=n(n+1)(n+2)a_n (n=1,2,3,・・・)$で定めると、$b_1=\fbox{オ}$であり、$n \geqq 1$に対して$b_{n+1}=\fbox{カ}b_n$が成り立つ。ゆえに$a_n=\dfrac{\fbox{キ}}{n(n+1)(n+2)}$が得られる。
次に、数列$\{{T_n}\}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{a_k}{(k+3)(k+4)}(n=1,2,3,・・・)$で定める。
(2)(*)より導かれる関係式
$\dfrac{a_k}{k+3}-\dfrac{a_{k+1}}{k+4}=\dfrac{\fbox{ク}a_k}{(k+3)(k+4)} (k=1,2,3,・・・)$
を用いると
$T_n=A-\dfrac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}(n+p)(n+q)(n+r)(n+s)}(n=1,2,3,・・・)$
が得られる。ただしここに$A=\fbox{サ}{シス}$であり、$p \lt q\lt r \lt s$として$p=\fbox{セ},q=\fbox{ソ},r=\fbox{タ},s=\fbox{チ}$である。
(3)不等式$|T_n-A| \lt\dfrac{1}{10000(n+1)(n+2)}$を満たす最小の自然数$nはn=\fbox{ツテ}$である。

2023慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
初項が $1$、第10項が $3$ である数列 $\{a_n\}$ が
\begin{equation*}
a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n+1=0 \quad (n=1,2,3,\ldots)
\end{equation*}
を満たしている。$b_n=a_{n+1}-a_n \ (n=1,2,3,\ldots)$ とおくとき、以下の問いに答えよ。
$(1)$ $b_{n+1}$ を $b_n$ を用いて表せ。
$(2)$ $b_n$ を $n$ と $b_1$ を用いて表せ。
$(3)$ $b_1$ を求めよ。
$(4)$ 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $n$ を正の整数とし、1,2,3,4,5,6の6個の数字から同じ数字を繰り返し用いることを許して$n$桁の整数をつくる。このような整数のうち、1が奇数個用いられるものの総数を$A_n$、それ以外のものの総数を$B_n$とする。
また、1か6がいずれも奇数個用いられるものの総数を$C_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$A_4$を求めよ。
(2)正の整数$n$に対して、$A_{n+1}$を$A_n$と$B_n$を用いて表せ。
(3)正の整数$n$に対して、$A_n$と$B_n$を求めよ。
(4)$p$を定数とする。$X_1=p$,$X_{n+1}=2X_n+6^n$($n$=1,2,3,...)で定められる
数列を$\left\{X_n\right\}$とする。正の整数$n$に対して、$X_n$を$n$と$p$を用いて表せ。
(5)正の整数$n$に対して、$C_n$を求めよ。

2021北里大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とする.

(1)$n!\geqq 2^{n-1}$を示せ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\lt 3$を示せ.

佐賀大過去問

問題文全文(内容文)：
$(1+2i)^n=x_n+y_ni$
(1)$x^2_n+y^2_n$を求めよ.
(2)$x_{n+2}$を$x_{n+1}$と$x_n$で表せ.
(3)$x_n$と$y_n$の最大公約数を求めよ.

東京電機大過去問