問題文全文(内容文)：
定積分 $\displaystyle \int_0^\pi(1-a\sin x-b\sin2x)^2dx$ を最小にする定数 $a,\ b$ の値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$I_n = \int_0^1 (1 - x^2)^{\frac{n}{2}} \, dx$ について、次の問いに答えよ。ただし、$n$ は正の整数とする。(1) $I_1$ を求めよ。(2) $I_n$ と $I_{n+2}$ の間に成り立つ関係式を求めよ。(3) $I_5$ を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2} x 2^{x-1}$ $dx$

出典：2024年茨城大学

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $t$>0 に対して、次の2つの定積分を考える。
$I$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\sin xdx$,　$J$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\cos xdx$
部分積分を用いれば$I$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$－$tJ$,　$J$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$+$tI$　が成り立つことが分かるので、
$I$=$\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$,　$J$=$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$
を得る。したがって、$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{\log\boxed{\ \ エ\ \ }}{t}$=0　を用いれば、
$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\frac{1}{t}\log\left(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-tx}\cos xdx-\frac{t}{\boxed{\ \ エ\ \ }}\right)$=$\boxed{\ \ カ\ \ }$
となる。
$\boxed{\ \ ア\ \ }$、$\boxed{\ \ イ\ \ }$、$\boxed{\ \ ウ\ \ }$の解答群
⓪-1　①1　②2-$\pi$　③$\pi$　④1-$t$　⑤1+$t$　
⑥1-$t^2$　⑦1+$t^2$　⑧$-e^{-\frac{\pi}{2}t}$　⑨$e^{-\frac{\pi}{2}t}$　
$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、$\boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
⓪$t$　①1　②-1$-te^{-\frac{\pi}{2}t}$　③-1$+te^{-\frac{\pi}{2}t}$　④1$-te^{-\frac{\pi}{2}t}$　
⑤1$+te^{-\frac{\pi}{2}t}$　⑥-$t$-$e^{-\frac{\pi}{2}t}$　⑦-$t$+$e^{-\frac{\pi}{2}t}$　⑧$t$-$e^{-\frac{\pi}{2}t}$　⑨$t$+$e^{-\frac{\pi}{2}t}$
$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪0　①$-\frac{\pi}{2}$　②$-\frac{\pi}{3}$　③$-\frac{\pi}{4}$　④$-\frac{\pi}{6}$　⑤$-\frac{\pi}{12}$　⑥$\frac{\pi}{6}$　
⑦$\frac{\pi}{4}$　⑧$\frac{\pi}{3}$　⑨$\frac{\pi}{2}$　

問題文全文(内容文)：
$f(x)$：微分可能
$g(x)=f(x)e^{-x}$
（1）
$f'(x)=f(x)+g'(x)e^x$を示せ

（2）
$a$：定数
$f(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} (f(t)-4te^{-t}) dt$
$f(0)=1$のとき$f(x),a$を求めよ

出典：2022年岩手大学　入試問題