【高校数学】階差数列の問題演習～基礎的な問題～ 3-9.5【数学Ｂ】

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 一 般 項 a_{n} を 求 め よ \end{array}

\begin{array}{r} (1) 1, 7, 17, 31, 71, \dots \end{array}

\begin{array}{r} (2) 2, 3, 5, 9, 17, \dots \end{array}

単元： #数Ⅱ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} 一 般 項 a_{n} を 求 め よ \end{array}

\begin{array}{r} (1) 1, 7, 17, 31, 71, \dots \end{array}

\begin{array}{r} (2) 2, 3, 5, 9, 17, \dots \end{array}

投稿日：2022.06.27

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問題文全文(内容文)：
2009一橋大学過去問題

α =^{3} \sqrt{7 + 5 \sqrt{2}}

β =^{3} \sqrt{7 - 5 \sqrt{2}}

n自然数

α^{n} + β^{n}

は自然数であることを示せ。

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問題文全文(内容文)：
次の漸化式を解け。(すべて

a_{1} = 1

とする)
①

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} - 1}

②

a_{n + 1} = 2 \sqrt{a_{n}}

③

a_{n + 1} = 2 (n + 1) a_{n}

④

a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} + 8}{a_{n} + 6}

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = \log (x + 1) + 1

とする。以下の問いに答えよ。
(1)方程式

f (x) = x

は、

x > 0

の範囲でただ1つの解を
もつことを示せ。
(2)(1)の解を

α

とする。実数

x

が

0 < x < α

を満たすならば、
次の不等式が成り立つことを示せ。

0 < \frac{α - f (x)}{α - x} < f^{'} (x)

(3)数列

{x_{n}}

を

x_{1} = 1, x_{n + 1} = f (x_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots \dots)

で定める。このとき、全ての自然数nに対して

α - x_{n + 1} < \frac{1}{2} (α - x_{n})

が成り立つことを示せ。
(4)(3)の数列

{x_{n}}

について、

lim_{n \to \infty} x_{n} = α

を示せ。

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問題文全文(内容文)：

2

次の条件によって定められる数列

{a_{n}}

について考える。

a_{1}

=3,　

a_{n + 1}

3 a_{n}

－

\frac{3^{n + 1}}{n (n + 1)}

(1)

b_{n}

\frac{a_{n}}{3^{n}}

とおくとき、

b_{n + 1}

を

b_{n}

と

n

の式で表せ。
(2)数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。

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問題文全文(内容文)：
数列　

1 2 1 3 2

1 4

3

2

1

5 \dots

について次を求めよ。
(1)第100項
(2)初項から第100項までの和

数列　

\frac{2}{3} \frac{2}{5} \frac{4}{5} \frac{2}{7} \frac{4}{7} \frac{6}{7} \frac{2}{9}

\frac{4}{9}

\frac{6}{9}

\frac{8}{9}

\frac{2}{11} \dots

について

次の問いに答えよ。
(1)

\frac{4}{15}

は第何項か。
(2)第100項は何か。

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