問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$　(1)m,nを自然数とし、$n \geqq 2$とする。このとき、
$\log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right) \lt \displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k} \lt \log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)+\displaystyle\frac{n}{m(m+n)}$
を証明せよ。ただし、$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{m+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{m+n-1}$とする。
(2)2以上の自然数$n$に対して
$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+k)(n+1-k)}$
$b_n=\displaystyle\frac{\log n}{n}$
とおく。$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ。

2019早稲田大学教育学部過去問

問題文全文(内容文)：
積分順序の変更
(1)$\int_1^2 \int_0^{5-\frac{5}{2}y} f(x,y) dxdy$
(2)$\int_0^2 \int_0^{\frac{1}{2} \sqrt{4-x^2}} f(x,y) dxdy$
(3)$\int_1^e \int_0^{logx} f(x,y) dxdy$

問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$n$を$2$以上の整数とする。

$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、

横一列におかれている。

$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、

次の操作$(T_i)$を考える。

$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、

左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、

これら$2$枚の札の位置を入れ替える。

そうでなければ、札の位置を変えない。

最初の状態において札の数字は左から

$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。

この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を

順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作

$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、

札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。

以下の問いに答えよ。

(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。

(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方

$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。

$n$が$4$以上の整数であるとき、

$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{2x}{\pi} \leqq \sin\ x$

（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-\sin\ x}dx \leqq \pi\left[ 1-\dfrac{ 1 }{ e } \right]$

問題文全文(内容文)：
円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる。これらの点により、円周はm+n個の弧に分けられる。
このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は偶数であることを証明せよ。
ただし、$m \geqq 1$,$n \geqq 1$とする。

東大過去問