福田の数学〜千葉大学2023年第8問〜iのn乗根Part1

問題文全文(内容文)：

8

　実数

a

b

と虚数単位

i

を用いて複素数

z

が

z

a

b i

の形で表されるとき、

a

を

z

の実部、

b

を

z

の虚部と呼び、それぞれ

a

R e (z)

b

I m (z)

と表す。
(1)

z^{3}

i

を満たす複素数

z

をすべて求めよ。
(2)

z^{100}

i

を満たす複素数

z

のうち、

R e (z)

≦

\frac{1}{2}

かつ

I m (z)

≧0を満たすものの個数を求めよ。
(3)

n

を正の整数とする。

z^{n}

i

を満たす複素数

z

のうち、

R e (z)

≧

\frac{1}{2}

を満たすものの個数を

N

とする。

N

＞

\frac{n}{3}

となるための

n

に関する必要十分条件を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

8

　実数

a

b

と虚数単位

i

を用いて複素数

z

が

z

a

b i

の形で表されるとき、

a

を

z

の実部、

b

を

z

の虚部と呼び、それぞれ

a

R e (z)

b

I m (z)

と表す。
(1)

z^{3}

i

を満たす複素数

z

をすべて求めよ。
(2)

z^{100}

i

を満たす複素数

z

のうち、

R e (z)

≦

\frac{1}{2}

かつ

I m (z)

≧0を満たすものの個数を求めよ。
(3)

n

を正の整数とする。

z^{n}

i

を満たす複素数

z

のうち、

R e (z)

≧

\frac{1}{2}

を満たすものの個数を

N

とする。

N

＞

\frac{n}{3}

となるための

n

に関する必要十分条件を求めよ。

投稿日：2023.08.04

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問題文全文(内容文)：

z

を絶対値が1の複素数とする。
このとき以下の問いに答えよ。
（1）

z^{3} - z

の実部が

0

となるような

z

をすべて求めよ。
（2）

z^{5} + z

の絶対値が1となるような

z

をすべて求めよ。
（3）

n

を自然数とする。

z^{n} + 1

の絶対値が1となるような

z

となるような

z

をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)式4

z^{2}

z

\sqrt{3} i

=0を満たす複素数zは2つある。それらを

α

β

とする。ただし、

i

は虚数単位である。

α

β

に対応する複素数平面上の点をそれぞれP,Qとすると、線分PQの長さは

え

であり、PQの中点の座標は(

お

か

)である。
また線分PQの垂直二等分線の傾きは

き

である。

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問題文全文(内容文)：
近畿大学過去問題

x^{4} - P x^{2} + P^{2} - P - 2 = 0

が相異4実根をもつPの範囲

茨城大学過去問題

x^{3} = i

を解け

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数

z_{n} (n = 1, 2, 3 \dots)

が次の式を満たしている。

z_{1} = 1, z_{2} = \frac{1}{2},

　複素数の積

z_{n} z_{n + 1} = \frac{1}{2} {(\frac{1 + \sqrt{3} i}{2})}^{n - 1}

このとき、

S = z_{1} + z_{2} + z_{3} + \dots \dots + z_{2002}

を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

複素数平面上の点zが

z + \bar{z} = 2

を満たしながら動くとき、以下の問いに答えよ。
(1)点z全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(2)

w = (2 + i) z

　で定まる点w全体が描く図形を調べよう。

(a) w

の実部をu、虚部をvとして

w = u + v i

と表すとき、u,vが満たす方程式
を求めよ。

(b)

点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(3)

w = z^{2}

で定まる点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2021青山学院大学理工学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 福田の数学〜千葉大学2023年第8問〜iのn乗根Part1

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