福田の数学〜中央大学2023年理工学部第4問〜関数方程式 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜中央大学2023年理工学部第4問〜関数方程式

問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 以下の問いに答えよ。
(1)整式$f(x)$=$a_nx^n$+$a_{n-1}x^{n-1}$+...+$a_1x$+$a_0$ ($a_0$≠0)に対し、
$f(x+1)$-$f(x)$=$b_nx^n$+$b_{n-1}x^{n-1}$+...+$b_1x$+$b_0$ ($a_0$≠0)
と表すとき、$b_n$と$b_{n-1}$を求めよ。
(2)整式$g(x)$が恒等式$g(x+1)$-$g(x)$=$(x-1)x(x+1)$および$g(0)$=0を満たすとき、$g(x)$を求めよ。
(3)整式$h(x)$が恒等式$h(2x+1)$-$h(2x)$=$h(x)$-$x^2$を満たすとき、$h(x)$を求めよ。
単元: #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化(グラフ・最大最小・方程式・不等式)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
$\Large\boxed{4}$ 以下の問いに答えよ。
(1)整式$f(x)$=$a_nx^n$+$a_{n-1}x^{n-1}$+...+$a_1x$+$a_0$ ($a_0$≠0)に対し、
$f(x+1)$-$f(x)$=$b_nx^n$+$b_{n-1}x^{n-1}$+...+$b_1x$+$b_0$ ($a_0$≠0)
と表すとき、$b_n$と$b_{n-1}$を求めよ。
(2)整式$g(x)$が恒等式$g(x+1)$-$g(x)$=$(x-1)x(x+1)$および$g(0)$=0を満たすとき、$g(x)$を求めよ。
(3)整式$h(x)$が恒等式$h(2x+1)$-$h(2x)$=$h(x)$-$x^2$を満たすとき、$h(x)$を求めよ。
投稿日:2023.10.07

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問題文全文(内容文):
(1)
$f(x)=x^{-2}2^x$ $(x \neq 0)$
$f'(x) \gt 0$となる条件を求めよ

(2)
$2^x=x^2$実数解の個数を求めよ

(3)
$2^x=x^2$の有理数解をすべて求めよ

出典:2015年名古屋大学 過去問
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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 微分(2) 逆関数の微分\\
\\
y=\tan x  (-\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{\pi}{2})\\
\\
の逆関数の第2次導関数を求めよ。
\end{eqnarray}
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問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 座標平面上の点A(a,b)を1つ固定し、曲線y=x^2上の点P(x,x^2)と点A\\
との距離の2乗をg(x)とおく。関数y=g(x)のグラフが区間(-\infty,\infty)において下に凸\\
となるための条件はb \leqq \boxed{\ \ ア\ \ }\ となることである。b \gt \boxed{\ \ ア\ \ }\ のときy=g(x)のグラフは\\
2つの変曲点をもち、そのx座標は\ \boxed{\ \ イ\ \ }\ 及び\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ である。\\
ただし\boxed{\ \ イ\ \ }\lt \boxed{\ \ ウ\ \ }とする。また、関数y=g(x)が極小となるxがただ1つであるために\\
a,bが満たすべき条件をb \leqq F(a)と書くと、F(a)=\boxed{\ \ エ\ \ } である。\\
b= F(a)のとき、関数y=g(x)はx=\boxed{\ \ オ\ \ }において最小値をとる。\\
さらに、連立不等式x \geqq 0,\ y \geqq x^2が表す領域をDとするとき、\\
曲線y=F(x)のDに含まれる部分の長さLを求めると、L=\boxed{\ \ カ\ \ }である。
\end{eqnarray}

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問題文全文(内容文):
$f(x)=x^3+2x^2+2$
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k  (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k  ①k  ②k^2  ③\frac{\sqrt 2}{2}  ④\frac{\sqrt 2}{3}  \\
⑤\frac{k}{2}  ⑥\frac{k}{3}  ⑦\frac{k^2}{4}  ⑧\frac{k^2}{5}  ⑨\frac{k^2}{6}  \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2}  ①x+\frac{k}{4}  ②-x+\frac{k}{2}  ③-x+\frac{k}{4}  ④2x-\frac{k}{2}  \\
⑤2x-\frac{k}{4}  ⑥2x-\frac{3k}{4}  ⑦-2x+\frac{k}{2}  ⑧-2x+\frac{k}{4}  ⑨-2x+\frac{3k}{4}  
\end{eqnarray}

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