福田の数学〜上智大学2021年理工学部第3問〜複素数平面と図形 - 質問解決D.B.(データベース)

福田の数学〜上智大学2021年理工学部第3問〜複素数平面と図形

問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} iを虚数単位とする。複素数zの絶対値を|z|と表す。\\
w=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} とし、\alpha=w+w^4 とする。\\
\\
(1)\alpha^2=\boxed{\ \ お\ \ }\ である。これより、\alpha=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}である。\\
(2)複素数平面上の2点\frac{i}{2},\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ か\ \ }\ である。\\
(3)複素数平面上の2点w^2,\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ き\ \ }\ である。\\
(4)\frac{w^2+1}{w+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta) (ただし、r \gt 0,\ 0 \leqq \theta \lt 2\pi)\\
とおくとき、r=\boxed{\ \ く\ \ }\ であり、\theta=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}\pi\ である。\\
(5)複素数平面上で、-1を中心都市w^2を通る円上をzが動くとする。\\
x=\frac{1}{z}とするとき、xは|1+x|=\boxed{\ \ け\ \ }|x| を満たし、\boxed{\ \ こ\ \ }を\\
中心とする半径\boxed{\ \ さ\ \ }の円を描く。\\
\\
\boxed{\ \ お\ \ }~\ \boxed{\ \ さ\ \ }の選択肢\\
(\textrm{a})1  (\textrm{b})2  (\textrm{c})\alpha  (\textrm{d})2\alpha\\
(\textrm{e})\frac{\alpha}{2}+1  (\textrm{f})\frac{\alpha}{2}-1  (\textrm{g})-\frac{\alpha}{2}+1  (\textrm{h})-\frac{\alpha}{2}-1\\
(\textrm{i})\alpha+1  (\textrm{j})\alpha-1  (\textrm{k})-\alpha+1  (\textrm{l})-\alpha-1\\
(\textrm{m})\alpha+\frac{1}{2}  (\textrm{n})\alpha-\frac{1}{2}  (\textrm{o})-\alpha+\frac{1}{2}  (\textrm{p})-\alpha-\frac{1}{2}  
\end{eqnarray}

2021上智大学理工学部過去問
単元: #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C
指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} iを虚数単位とする。複素数zの絶対値を|z|と表す。\\
w=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} とし、\alpha=w+w^4 とする。\\
\\
(1)\alpha^2=\boxed{\ \ お\ \ }\ である。これより、\alpha=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ タ\ \ }}}{\boxed{\ \ チ\ \ }}である。\\
(2)複素数平面上の2点\frac{i}{2},\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ か\ \ }\ である。\\
(3)複素数平面上の2点w^2,\ -1間の距離は\ \boxed{\ \ き\ \ }\ である。\\
(4)\frac{w^2+1}{w+1}=r(\cos\theta+i\sin\theta) (ただし、r \gt 0,\ 0 \leqq \theta \lt 2\pi)\\
とおくとき、r=\boxed{\ \ く\ \ }\ であり、\theta=\frac{\boxed{\ \ ツ\ \ }}{\boxed{\ \ テ\ \ }}\pi\ である。\\
(5)複素数平面上で、-1を中心都市w^2を通る円上をzが動くとする。\\
x=\frac{1}{z}とするとき、xは|1+x|=\boxed{\ \ け\ \ }|x| を満たし、\boxed{\ \ こ\ \ }を\\
中心とする半径\boxed{\ \ さ\ \ }の円を描く。\\
\\
\boxed{\ \ お\ \ }~\ \boxed{\ \ さ\ \ }の選択肢\\
(\textrm{a})1  (\textrm{b})2  (\textrm{c})\alpha  (\textrm{d})2\alpha\\
(\textrm{e})\frac{\alpha}{2}+1  (\textrm{f})\frac{\alpha}{2}-1  (\textrm{g})-\frac{\alpha}{2}+1  (\textrm{h})-\frac{\alpha}{2}-1\\
(\textrm{i})\alpha+1  (\textrm{j})\alpha-1  (\textrm{k})-\alpha+1  (\textrm{l})-\alpha-1\\
(\textrm{m})\alpha+\frac{1}{2}  (\textrm{n})\alpha-\frac{1}{2}  (\textrm{o})-\alpha+\frac{1}{2}  (\textrm{p})-\alpha-\frac{1}{2}  
\end{eqnarray}

2021上智大学理工学部過去問
投稿日:2021.08.27

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このとき、α⁵の値は[ア]である。
zは等式 2|z-α| = |z-β|を満たす複素数全体を動くとする。
このとき、複素数平面上の点P(z) が描く図形は円であり、その中心を表す複素数は[イ]である。
また、 |z| の最大値は[ウ]である。

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(1)$2-2i$
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指導講師: 福田次郎
問題文全文(内容文):
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (2)\ 方程式\ x^2+x+1=0の2つの解を\alpha,\ \betaとする。またbを実数として、\\
方程式\ x^2+x+1=0の2つの解を\gamma,\ \deltaとする。複素数平面上で、4点A(\alpha),\\
B(\beta),C(\gamma),D(\delta)が同じ円上にあるとき、bの値は±\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}となる。
\end{eqnarray}

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問題文全文(内容文):
$x^2-2kx+k=0$は実数解なし
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出典:2000年山梨大学 過去問
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