問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{9}$　関数$f(x)$と実数$t$に対し、$x$の関数$tx$-$f(x)$の最大値があればそれを$g(t)$と書く。
(1)$f(x)$=$x^4$のとき、任意の実数$t$について$g(t)$が存在する。この$g(t)$を求めよ。
以下、関数$f(x)$は連続な導関数$f''(x)$を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)$f'(x)$は増加関数、すなわち$a$＜$b$ならば$f'(a)$＜$f'(b)$
(ii)$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f'(x)$=$-\infty$　かつ　$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f'(x)$=$\infty$
(2)任意の実数$t$に対して、$x$の関数$tx$-$f(x)$は最大値$g(t)$を持つことを示せ。
(3)$s$を実数とする。$t$が実数全体を動くとき、$t$の関数$st$-$g(x)$は最大値$f(s)$となることを示せ。

問題文全文(内容文)：
定積分について述べた次の文章を読んで、後の問いに答えよ。
区間$a \leqq x \leqq b$で連続な関数f(x)に対して$F'(x)=f(x)$となる$F(x)$を1つ選び、
$f(x)$のaからbまでの定積分を
$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)　　　　　　　　　\ldots①$
で定義する。定積分の値はF(x)の選び方によらずに定まる。
定積分は次の性質(A),(B),(C)をもつ。
(A)$\int_a^b\left\{kf(x)+lg(x)\right\}dx=k\int_a^bf(x)dx+l\int_a^bg(x)dx$
(B)$ a \leqq c \leqq b$のとき、$\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^bf(x)dx$
(C)区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \geqq h(x)$ならば、$\int_a^bg(x)dx \geqq \int_a^bh(x)dx$
ただし、$f(x),g(x),h(x)$は区間$a \leqq x \leqq b$で連続な関数、$k,l$は定数である。
以下、$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で連続な増加関数とし、
nを自然数とする。定積分の性質$\boxed{\ \ ア\ \ }$を用い、定数関数に対する定積分の計算を行うと、
$\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) \leqq \int_{\frac{i-1}{n}}^{\frac{i}{n}}f(x)dx \leqq \frac{1}{n}f(\frac{i}{n})　　(i = 1,2,\ldots,n)　　　　　\ldots②$
が成り立つことがわかる。$S_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(\frac{i-1}{n})$とおくと、
不等式②と定積分の性質$\boxed{\ \ イ\ \ }$より次の不等式が成り立つ。
$0 \leqq \int_0^1f(x)dx-S_n \leqq \frac{f(1)-f(0)}{n}　　　　　\ldots③$
よって、はさみうちの原理より$\lim_{n \to \infty}S_n=\int_0^1f(x)dx$が成り立つ。

(1)関数F(x),G(x)が微分可能であるとき、$\left\{F(x)+G(x)\right\}'=F'(x)+G'(x)$が
成り立つことを、導関数の定義に従って示せ。
また、この等式と定積分の定義①を用いて、性質(A)で$k=l=1$とした場合の等式
$\int_a^b\left\{f(x)+g(x)\right\}dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$　を示せ。
(2)定積分の定義①と平均値の定理を用いて、次を示せ。
$a \lt b$のとき、区間$a \leqq x \leqq b$において$g(x) \gt 0$ならば、$\int_a^bg(x)dx \gt 0$
(3)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、文章中の下線部の内容を詳しく説明することで、
不等式②を示せ。
(4)(A),(B),(C)のうち、空欄$\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る記号として最もふさわしいものを
1つ選び答えよ。また、不等式③を示せ。

2022九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$　不等式の証明(6)
$0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}$のとき、
$\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}$が成り立つことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(微分の不等式への応用①)

①$x\gt1$のとき、不等式$2\sqrt{x}\gt\log x$を証明せよ

➁$x\gt1$のとき、不等式$\log x\leqq\frac{x}{e}$を証明せよ

問題文全文(内容文)：
$x^3-3mx+m-3=0$が3個の異なる実数解$\alpha ,\beta,\gamma$をもつ$(\alpha \lt \beta \lt \gamma)m,\alpha,\beta,\gamma$の範囲を求めよ

出典：2018年早稲田大学　過去問