問題文全文(内容文)：
1000～9999の4ケタの整数について2023のようにちょうど3種類の数字が用いられている整数は何個?
2023渋谷教育学園幕張高等学校

問題文全文(内容文)：
$ a-b-8$と$b-c-8$が素数となるような素数の組$(a,b,c)$をすべて求めよ。

一橋大過去問

問題文全文(内容文)：
東京大学 2021年理科・文科第４問（２）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。${}_{4a+1}\mathrm{C}_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_{a}\mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。

問題文全文(内容文)：
お茶の水女子大学過去問題
n自然数
$2^n+1$は15の倍数でないことを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
円周上に15個の点$P_0,P_1,\ldots,P_{14}$が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点$P_0$に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先
の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。
この操作を繰り返す。例えば、石が点$P_5$にあるとき、さいころを投げて6の目が
出たら石を点$P_{10}$に移動させる。次に、5の目が出たら点$P_{10}$にある石を
点$P_7$に移動させる。

(1)さいころを5回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ ア\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ イ\ \ }$回
出れば、点$P_0$にある石を点$P_1$に移動させることができる。このとき、
$x=\boxed{\ \ ア\ \ },$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }$は、不定方程式$5x-3y=1$の整数解に
なっている。

(2)不定方程式
$5x-3y=8$　$\cdots$①
の全ての整数解$x,y$は、$k$を整数として

$x=\boxed{\ \ ア\ \ }×8+\boxed{\ \ ウ\ \ }\ k,$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }×8+\boxed{\ \ エ\ \ }\ k$

と表される。①の整数解$x,y$の中で、$0 \leqq y \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$を満たすものは

$x=\boxed{\ \ オ\ \ },$　$y=\boxed{\ \ カ\ \ }$

である。したがって、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ オ\ \ }$回、
奇数の目が$\boxed{\ \ カ\ \ }$回出れば、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させることが
できる。

(3)(2)において、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回より少ない回数だけ投げて、点$P_0$
にある石を点$P_8$に移動させることはできないだろうか。

(*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると
元の点に戻る。

(*)に注意すると、偶数の目が$\boxed{\ \ ク\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ ケ\ \ }$回出れば、
さいころを投げる回数が$\boxed{\ \ コ\ \ }$回で、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させる
ことができる。このとき、$\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \boxed{\ \ キ\ \ }$　である。

(4)点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうちから点を一つ選び、点$P_0$にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを
投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回投げて点$P_0$にある石を
点$P_2$へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と
奇数の目が1回ずつ出れば、点$P_0$にある石を点$P_2$へ移動させることができる。
したがって、点$P_2$を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうち、この最小回数が最も大きいのは点$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であり、
その最小回数は$\boxed{\ \ シ\ \ }$回である。

$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪$P_{10}$
①$P_{11}$
②$P_{12}$
③$P_{13}$
④$P_{14}$

2021共通テスト過去問