問題文全文(内容文)：
次の極方程式はどのような曲線を表すか。
直交座標の方程式に直して答えよ。
(1)$r=\dfrac{1}{\sqrt{2}+cosθ}$
(2)$r=\dfrac{3}{1+2cosθ}$
(3)$r=\dfrac{2}{1+cosθ}$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{3} a\gt 0$とする。座標平面で、原点$O$を中心とする半径$a$の定円を$C_1$とし、$C_1$と外接する半径$a$の円を$C_2$とする。円$C_2$が定円$C_1$と外接しながらすべることなく転がるとき、$C_2$上の定点$P$が描く曲線を考えたい。始めに$C_2$の中心が$(2a,0)$にあり、$P$が$(a,0)$にあるとする。$C_2$の中心が点$(2a,0)$から原点$O$を中心に反時計回りに$θ$だけ回転した位置にきたとき、$C_1$と$C_2$の接点を通る$C_1$と$C_2$の共通の接線を$l_θ$とする。$l_θ$の方程式は$a=(\boxed{ア})x+(\boxed{イ})y$である。このとき、$P$は直線$l_θ$に関して$(a,0)$と対称な点であるので、$P$の座標を$(x,y)$とすると、$P$の軌跡は$θ$を媒介変数として$x=2a(\boxed{ウ})cosθ+a, y=2a(\boxed{ウ})sinθ$と表される。
$x$と$y$をそれぞれ$θ$で微分すると$\frac{dx}{dθ}=2a(\boxed{エ}),\frac{dy}{dθ}=2a(\boxed{オ})$となるので、$θ$が0から2まで動くとき、$P$が描く曲線の長さは$\boxed{カキ}a$である。

問題文全文(内容文)：
極方程式で表されたxy平面上の曲線$r=1+\cos\theta(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$をCとする。
(1)曲線C上の点を直交座標(x,y)で表したとき、$\frac{dx}{d\theta}=0$となる点、および
$\frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ。
(2)$\lim_{\theta \to \pi}\frac{dy}{dx}$を求めよ。
(3)曲線Cの概形をxy平面上にかけ。
(4)曲線Cの長さを求めよ。

2016神戸大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ xy平面上の曲線Cを、媒介変数$t$を用いて次のように定める。
$x$=$t$+2$\sin^2t$,　$y$=$t$+$\sin t$　(0＜$t$＜$\pi$)
以下の問いに答えよ。
(1)曲線Cに接する直線のうち$y$軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線Cのうち$y$≦$x$の領域にある部分と直線$y$=$x$で囲まれた図形の面積を求めよ。

2023九州大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
(1)座標平面上の点P(x,y)を、点T(s,t)を中心として半時計周りに角$\alpha$だけ
回転させるときに、点Pが点P'(x',y')に移るとする。x'とy'を$x,y,s,t,\alpha$
の式で表すと$x'=\boxed{\ \ ア\ \ },　y'=\boxed{\ \ イ\ \ }$となる。
(2)aを正の実数とする。原点O(0,0)とする半径aの円Cに、半径$\frac{a}{2}$で原点O
を通る円Kを点A(a,0)において内接させる。この円Kを円Cに沿って
滑らないように転がす。ただし、KとCの接点がC上を半時計回りに動くようにする。
そして、接点の座標がはじめて$(a\cos\beta,a\sin\beta)(0 \leqq \beta \leqq 2\pi)$となるようにする。
円Kに対するこの操作は次の2段階の操作を続けて行うことと同等である。
$(\textrm{i})$点B$(\frac{a}{2},0)$を中心として、円Kを$\boxed{\ \ ウ\ \ }$に角$\boxed{\ \ エ\ \ }$だけ回転させる。
$(\textrm{ii})$原点Oを中心として、円Kを$\boxed{\ \ オ\ \ }$に角$\boxed{\ \ カ\ \ }$だけ回転させる。

$\boxed{\ \ ウ\ \ },\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ },\boxed{\ \ カ\ \ }$の選択肢
時計回り,反時計回り,$\beta,2\beta,\frac{1}{2}\beta$

(3)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、Kの内部に固定された点Q(b,0)
(ただし、$0 \lt b \lt a$)をとる。円Kを、Cとの接点がC上を一周するまで(2)に述べた
やり方でCに沿って転がすとき、点Qが動いてできる曲線を$S_1$とする。$S_1$上の
点の座標を(x,y)として、$S_1$の方程式をx,yを用いて書くと$\boxed{\ \ キ\ \ }$となる。

(4)円Kが点Aにおいて円Cに内接しているとき、円Cに固定された点R(0,a)をとる。
今度は円Kを固定して、円Cの方をKに接した状態で滑らないようにKに沿って転がす。
2つの円の接点が円Kを$\boxed{\ \ ク\ \ }$回転したとき、点Rははじめてもとの位置
(0,a)に戻る。Rが描く曲線を$S_2$とする。原点Oを極とし、x軸の正の部分を
始線とする極座標#$(r,\theta)$による$S_2$の極方程式は$r=\boxed{\ \ ケ\ \ }$である。
ただし$r,\theta$はそれぞれ$S_2$上の点の原点からの距離、および偏角である。

2022慶應義塾大学医学部過去問