単元：
#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#中央大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$放物線$C:y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$ $(a \gt 0)$における法線lの方程式を$y=f(x)$
とおくと、$f(x)=\boxed{\ \ ア\ \ }$となる。またCとlの交点のうちPと異なる方の点Qを
求めると、$Q(\boxed{\ \ イ\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ }^2)$となる。以下、Cとlで囲まれた部分をDとし、
Dをlの周りに1回転して得られる回転体の体積$V(a)$を求める。Dに含まれるl上
の点を$R(t,\ f(t))$ $(\boxed{\ \ イ\ \ }$ $\leqq t \leqq a)$とおく。Rを通りlに垂直な直線は
$y=2a(x-t)+f(t)$で与えられる。この直線と$y=x^2$の2つの交点のうち
Dに含まれる方の点Sのx座標は$x=a-\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t}$ となる。このとき
線分RSの長さ$r=g(t)$は$g(t)=\boxed{\ \ エ\ \ }(t-a+\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{a-t})$となる。
線分QRの長さ$s=h(t)$は$h(t)=\boxed{\ \ オ\ \ }(t-\boxed{\ \ イ\ \ })$で与えられるので、
$V(a)=\pi\int_0^{h(a)}r^2ds=\pi\int_{\boxed{イ}}^a\left\{g(t)\right\}^2h'(t)dt$
$=\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_{\boxed{イ}}^a(a-t)(-\sqrt{a-t}+\boxed{\ \ ウ\ \ })^2dt$
となる。ここで$u=\sqrt{a-t}$とおいて置換積分を行えば
$V(a)=2\pi\left\{(\boxed{\ \ エ\ \ })^2×\boxed{\ \ オ\ \ }\right\}\int_0^{\boxed{ウ}}\left\{u^5-2\boxed{\ \ ウ\ \ }u^4+(\boxed{\ \ ウ\ \ })^2u^3\right\}du=\boxed{\ \ カ\ \ }$
が求まる。さらに、$a \gt 0$の範囲で$a$を動かすとき、$\lim_{a \to +0}V(a)=\lim_{a \to \infty}V(a)=\infty$
であり、$V(a)$を最小にするaの値は$a=\boxed{\ \ キ\ \ }$である。
$\boxed{\ \ ア\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{2}{a}(x-a)+a^2$ ⓑ$-\frac{1}{a}(x-a)+a^2$ ⓒ$-\frac{1}{2a}(x-a)+a^2$ ⓓ$-2a(x-a)+a^2$
$\boxed{\ \ イ\ \ }～\ \boxed{\ \ オ\ \ }$の解答群
ⓐ$-\frac{a^2-1}{a}$ ⓑ$-\frac{2a^2-1}{2a}$ ⓒ$-\frac{a^2+1}{a}$ ⓓ$-\frac{2a^2+1}{2a}$
ⓔ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{2}$ ⓕ$\sqrt{a^2+1}$ ⓖ$\sqrt{4a^2+1}$ ⓗ$2a$
ⓘ$\frac{\sqrt{4a^2+1}}{2a}$ ⓙ$\frac{\sqrt{a^2+4}}{a}$ ⓚ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$ ⓛ$\frac{\sqrt{a^2+1}}{2a}$
ⓜ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{2a}}$ ⓝ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{2a}}$ ⓞ$\sqrt{\frac{2a^2+1}{a}}$ ⓟ$\sqrt{\frac{4a^2+1}{a}}$
$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{(2a^2+1)^3(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓑ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{120a^4}\ \pi ⓒ\frac{(2a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓓ\frac{(2a^2+1)^3(4a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{60a^4}\ \pi ⓔ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{480a^4}\ \pi ⓕ\frac{(4a^2+1)^{\frac{9}{2}}}{60a^4}\ \pi$
$ⓖ\frac{(a^2+1)^2(4a^2+1)^2}{120a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓗ\frac{(4a^2+1)^4}{480\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi ⓘ\frac{(4a^2+1)^4}{120\sqrt2a^{\frac{7}{2}}}\ \pi$
$\boxed{\ \ キ\ \ }$の解答群
$ⓐ\frac{1}{\sqrt5} ⓑ\frac{1}{\sqrt2} ⓒ1 ⓓ\sqrt2 ⓔ\frac{2}{\sqrt5} ⓕ4$
2021中央大学理工学部過去問
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