数学「大学入試良問集」【17−3② 解けない漸化式とはさみうちの原理】を宇宙一わかりやすく

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}^{2} + 9}{8 a_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定義される数列

{a_{n}}

について以下の問いに答えよ。
（1）

a_{n} > \frac{3}{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（2）

a_{n + 1} - \frac{3}{2} < \frac{1}{3} {[a_{n} - \frac{3}{2}]}^{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（3）

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{4 a_{n}^{2} + 9}{8 a_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

で定義される数列

{a_{n}}

について以下の問いに答えよ。
（1）

a_{n} > \frac{3}{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（2）

a_{n + 1} - \frac{3}{2} < \frac{1}{3} {[a_{n} - \frac{3}{2}]}^{2} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

を証明せよ。
（3）

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

投稿日：2021.06.19

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問題文全文(内容文)：
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立方体の上面に印をつける。床に接する面の4辺のうちから1辺を等確率で選び、その1辺を軸に立方体を倒す。
n回倒したとき、印の面が側面にくる確率を

a_{n}

,底面にくる確率を

b_{n}

(1)

a_{n}

をnで表せ
(2)

b_{n}

をnで表し、

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ

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問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} {\sqrt{n} \sin (\frac{1}{n})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n + k}}

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lim_{x \to + 0} x l o g x

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問題文全文(内容文)：

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　色々な極限(8)

lim_{n \to \infty} x^{2 - 5 α} (0 < α < 1)

　を求めよ。

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問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とし、

C_{1}

,...,

C_{n}

を

n

枚の硬貨とする。各

k

=1,...,

n

に対し、硬貨

C_{k}

を投げて表が出る確率を

p_{k}

、裏が出る確率を1－

p_{k}

とする。この

n

枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)

p_{k}

\frac{1}{3}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

X_{n}

を求めよ。
(2)

p_{k}

\frac{1}{2 (k + 1)}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

Y_{n}

を求めよ。
(3)

n

3 m

(

m

は正の定数)で

k

=1,...,

3 m

に対して

p_{k}

{\begin{matrix} \frac{1}{3 m} (k = 1, . . ., m) \\ \frac{2}{3 m} (k = m + 1, . . ., 2 m) \\ \frac{1}{m} (k = 2 m + 1, . . ., 3 m) \end{matrix}

とする。このゲームで成功する確率を

Z_{3 m}

とするとき、

lim_{m \to \infty} Z_{3 m}

を求めよ。

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