問題文全文(内容文)：

$\boxed{5}$

$n$を$2$以上の整数とする。

$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、

横一列におかれている。

$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、

次の操作$(T_i)$を考える。

$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、

左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、

これら$2$枚の札の位置を入れ替える。

そうでなければ、札の位置を変えない。

最初の状態において札の数字は左から

$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。

この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を

順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作

$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、

札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。

以下の問いに答えよ。

(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。

(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方

$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。

$n$が$4$以上の整数であるとき、

$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。

$2025$年東京大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
$a_1=1$

$a_{n+1}\displaystyle \frac{na_n}{2+n(a_n+1)}$

一般項を求めよ

出典：大阪大学　過去問

問題文全文(内容文)：
第1項から第10項までの和が4、第1項から第20項までの和が24である等比数列について、第1項から第40項までの和を求めよ

問題文全文(内容文)：
次の数列の第$k$項,および初項から第$n$項までの和を求めよう.

①$3^2,6^2,9^2,･･･$

②$2･2,4･5,6･8,･･･$

③$1,1+2,1+2+3,･･･$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$コインを繰り返し,連続した3回が順に,表→裏→表,あるいは,裏→表→裏,というパターンが出たときにコイン投げを終了する.$n\geqq 3$に対し,コインをちょうど$n$回投げて終了する確率を$p_n$とする.
以下の手順により$p_n$を求める.コインを$n$回投げて,「まだ終了していないが$n+1$回目に表が出たら終了する」または「まだ終了してないが$n+1$回目に裏が出たら終了する.」という状態にある確率を$r_n$とする.またコインを$n$回投げて「まだ終了しておらず,$n+1$回目に表が出ても裏が出ても終了しない」という状態にある確率を$s_n$とする.
このとき,$r_3=\dfrac{1}{4},s_3=\boxed{ク},r_4=\dfrac{1}{4},s_4=\boxed{ケ}$である.
ここで,$r_{n+4}$と$r_{n},s_n$を用いて表すと,それぞれ$r_{n+1}=\boxed{コ}$,$s_{n+1}=\boxed{サ}$となる.