次の関数は x=1 で微分可能であることを証明せよ。x<1 のとき f(x)=x² x≧1 のとき f(x)=2x-1【数Ⅲ|微分法:導関数】 - 質問解決D.B.(データベース)

次の関数は x=1 で微分可能であることを証明せよ。x<1 のとき f(x)=x² x≧1 のとき f(x)=2x-1【数Ⅲ|微分法:導関数】

問題文全文(内容文):
次の関数は \(x=1\) で微分可能であることを証明せよ。
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 & (x<1)\\
2x-1 & (x\geq 1)
\end{cases}
\]
チャプター:

00:00 x = 1 における連続性の確認(左右の極限値が1で一致)
00:41 微分係数の定義に基づいた左側極限(h → -0)の計算(値:2)
01:20 微分係数の定義に基づいた右側極限(h → +0)の計算(値:2)
01:46 左右の微分係数の一致による微分可能性の証明完了

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指導講師: 理数個別チャンネル
問題文全文(内容文):
次の関数は \(x=1\) で微分可能であることを証明せよ。
\[
f(x)=
\begin{cases}
x^2 & (x<1)\\
2x-1 & (x\geq 1)
\end{cases}
\]
投稿日:2026.10.02

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問題文全文(内容文):
数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)

ポイント
平面上を運動する点$P$の座標$(x,y)$が、時刻$t$の関数$x=f(t)$、$y=g(t)$で表されるとき、 点$P$が時刻$t=a$から$t=b$までの間に通過する道のり$S$は

$S=$ ①


②
平面上を動く点$P$の時刻における座標$(x,y)$が$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$で与えられている。
このとき、$t=0$から$t=\pi$までの間に点$P$の動いた道のりを求めよ。
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(1)
逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ。

(2)
$I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin\ x-\sin^2x }\ dx$

(3)
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ \sin^3x-\sin^4x }\ dx$
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(1) $f(t)$ を求めよ。
(2) $t$が$0\leqq t$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を求めよ。
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