問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$　放物線$y=x^2$上の点$P$と、直線$x-2y-4=0$上の点との距離の最小値を
求めよ。また、そのときの点$P$の座標を求めよ。

$\boxed{{\displaystyle 2}}$　$O(0,0),A(a,b),B(c,d)$とする。
(1)$\mathrm{△}OAB$の面積を$S$とする。$S={\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|}$であることを証明せよ。
(2)(1)を利用して、$A(3,5),B(5,2),C(1,1)$に対し、$\mathrm{△}ABC$の面積を求めよ。

問題文全文(内容文)：
三角形の各辺の中点の座標を$(-1,-1),(-0,-1),(2,-2)$であるとき、この三角形の3つの頂点の座標を求めよ。

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$の重心を$\mathrm{G}$とするとき、次の等式を証明せよ。$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^2\mathrm{＋}\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2\mathrm{＝}\mathrm{B}{\mathrm{G}}^2\mathrm{＋}\mathrm{C}{\mathrm{G}}^2\mathrm{＋}\mathrm{４}\mathrm{A}{\mathrm{G}}^2$

$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$において辺$\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{B}\mathrm{C},\mathrm{C}\mathrm{A}$を$3:2$に内分する点を、それぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$とするとき、$\mathrm{△}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$と$\mathrm{△}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}$の重心は一致することを証明せよ。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$平面上に2点$A(3,5),B(-1,3)$がある。次の問いに答えよ。
(1)$AB$の距離を求めよ。
(2)2点$A,B$から等距離にある$x$軸上の点$P$の座標を求めよ。
(3)三角形$ABC$が正三角形となるように点$C$の座標を求めよ。

問題文全文(内容文)：
2点$\mathrm{A}(-5),\mathrm{B}(11)$に対して、線分$\mathrm{A}\mathrm{B}$を$5:3$に内分する点を$\mathrm{P}$、$7:11$に外分する点を$\mathrm{Q}$とする。線分$\mathrm{P}\mathrm{Q}$の中点の座標を求めよ。

次の3点が一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。
(1)　$(-2,6),(0,3),(4,t)$
(2)　$(1,4),(-1,t),(t,2)$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 5}}$ a,bを$a^2$+$b^2$＜1をみたす正の実数とする。また、座標平面上で原点を中心とする半径1の円をCとし、Cの内部にある2点A(a,0), B(0,b)を考える。
0＜θ＜$\frac{\pi }{2}$に対してC上の点P($\cos \theta$, $\sin \theta$)を考え、PにおけるCの接線に関してBと対称な点をDとおく。
(1)f(θ)=ab$\cos 2\theta$+a$\sin \theta$-b$\cos \theta$とおく。方程式f(θ)=0の解が0＜θ＜$\frac{\pi }{2}$の範囲に少なくとも1つ存在することを示せ。
(2)Dの座標をa, $\theta$を用いて表せ。
(3)θが0＜θ＜$\frac{\pi }{2}$の範囲を動くとき、3点A,P,Dが同一直線上にあるようなθは少なくとも1つ存在することを示せ。また、このようなθはただ1つであることを示せ。

2023北海道大学理系過去問