問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とする.

(1)$n!\geqq 2^{n-1}$を示せ.
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}\lt 3$を示せ.

佐賀大過去問

問題文全文(内容文)：
2016横浜市立大学過去問題
$a_1=1 , a_2 = 1$
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n = 0$

問題文全文(内容文)：
証明せよ

$\displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{1}{k^2} \leqq 2-\displaystyle \frac{1}{n}$

出典：岡山県立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　n人のクラス(ただしn \gt 1)で英語と理科のテストを実施する。ただしどちらの科目\\
にも同順位の者はいないとする。出席番号i(i=1,2,\ldots,n)の生徒について、\\
その英語の順位xと理科の順位yの組を(x_i,y_i)で表す。\\
\\
(1)変量xの平均値\bar{ x }と分散s_x^2をそれぞれ求めると\bar{ x }=\boxed{\ \ (あ)\ \ },s_x^2=\boxed{\ \ (い)\ \ }　である。\\
\\
(2)変量x,yの共分散s_{xy}とする。クラスの人数nが奇数の2倍であるとき、s_{xy}≠0である\\
ことを示しなさい。\\
\\
(3)i=1,2,\ldots,nに対してd_i=x_i-y_iとおく。変量x,yの相関係数をrとするとき、rは\\
nとd_1,d_2,\ldots,d_nを用いてr=1-\frac{6}{\boxed{\ \ (う)\ \ }}\boxed{\ \ (え)\ \ }　と表される。\\
\\
(4)x_iとy_iの間にy_i=\boxed{\ \ (お)\ \ }(i=1,2,\ldots,n)の関係があるときrは最大値\boxed{\ \ (か)\ \ }をとり\\
y_i=\boxed{\ \ (き)\ \ }(i=1,2,\ldots,n)の関係があるときrは最小値\boxed{\ \ (く)\ \ }をとる。
\end{eqnarray}

2021慶應義塾大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　数列$\left\{a_n\right\}$に対して、
$S_n=\sum_{k=1}^na_k　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。$\left\{a_n\right\}$は、$a_2=1,a_6=2$および
(*)$S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1}　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。

(1)$a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }$である。(*)で$n=4,5$とすると、$a_3+a_4$と$a_5$の関係が2通り定まり、
$a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }$と求まる。さらに(*)で$n=3$として、$a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }$と求まる。

(2)$n \geqq 2$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから(*)とあわせて
$(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n　(n=2,3,\ldots)$

ゆえに、$n \geqq 3$ならば$(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_n$となる。そこで、$n \geqq 3$に
対して$b_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_n$とおくと、漸化式
$b_{n+1}=b_n　(nz-3,4,5,\ldots)$
が成り立つ。ただしここに、$r \lt s \lt t$として$r=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
したがって、$n \geqq 4$に対して
$a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}$
となる。この式は$n=3$の時も成立する。

(3)$n \geqq 2$に対して
$S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}$
であるから、$S_n \geqq 59$となる最小の$n$は$n=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問