問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
円周上に15個の点$P_0,P_1,\ldots,P_{14}$が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点$P_0$に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先
の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。
この操作を繰り返す。例えば、石が点$P_5$にあるとき、さいころを投げて6の目が
出たら石を点$P_{10}$に移動させる。次に、5の目が出たら点$P_{10}$にある石を
点$P_7$に移動させる。

(1)さいころを5回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ ア\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ イ\ \ }$回
出れば、点$P_0$にある石を点$P_1$に移動させることができる。このとき、
$x=\boxed{\ \ ア\ \ },$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }$は、不定方程式$5x-3y=1$の整数解に
なっている。

(2)不定方程式
$5x-3y=8$　$\cdots$①
の全ての整数解$x,y$は、$k$を整数として

$x=\boxed{\ \ ア\ \ }×8+\boxed{\ \ ウ\ \ }\ k,$　$y=\boxed{\ \ イ\ \ }×8+\boxed{\ \ エ\ \ }\ k$

と表される。①の整数解$x,y$の中で、$0 \leqq y \lt \boxed{\ \ エ\ \ }$を満たすものは

$x=\boxed{\ \ オ\ \ },$　$y=\boxed{\ \ カ\ \ }$

である。したがって、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回投げて、偶数の目が$\boxed{\ \ オ\ \ }$回、
奇数の目が$\boxed{\ \ カ\ \ }$回出れば、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させることが
できる。

(3)(2)において、さいころを$\boxed{\ \ キ\ \ }$回より少ない回数だけ投げて、点$P_0$
にある石を点$P_8$に移動させることはできないだろうか。

(*)石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると
元の点に戻る。

(*)に注意すると、偶数の目が$\boxed{\ \ ク\ \ }$回、奇数の目が$\boxed{\ \ ケ\ \ }$回出れば、
さいころを投げる回数が$\boxed{\ \ コ\ \ }$回で、点$P_0$にある石を点$P_8$に移動させる
ことができる。このとき、$\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \boxed{\ \ キ\ \ }$　である。

(4)点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうちから点を一つ選び、点$P_0$にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを
投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回投げて点$P_0$にある石を
点$P_2$へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と
奇数の目が1回ずつ出れば、点$P_0$にある石を点$P_2$へ移動させることができる。
したがって、点$P_2$を選んだ場合には、この最小回数は2回である。
点$P_1,P_2,\cdots,P_{14}$のうち、この最小回数が最も大きいのは点$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$であり、
その最小回数は$\boxed{\ \ シ\ \ }$回である。

$\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}$の解答群
⓪$P_{10}$
①$P_{11}$
②$P_{12}$
③$P_{13}$
④$P_{14}$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$ Pが5以上の素数ならば,7^P-6^P-1は43の倍数であることを示せ.$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}

2022東京慈恵会医科大学医学部過去問

問題文全文(内容文)：
$m,n,X$は自然数である.これを解け.
$2^m+3^n=X^2$

問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{6}$かつ$m<n$を満たす正の整数$m,n$の組（$m,n$）をすべて求めよ。