問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$は
$a_1=9,a_{n+1}=4a_n+5^n(n=1,2,・・・)$をみたす。このとき、次の問いに答えよ。

（1）$b_n=a_n-5^n$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。
（2）数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$平均値の定理(4)
微分可能な関数$f(x)$が$f(1)=1,　0 \lt f'(x) \leqq \frac{1}{2}$を満たしている。
$a_{n+1}=f(a_n)$で定義される数列$\left\{a_n\right\}$について、
$\lim_{n \to \infty}a_n=1$であることを示せ。

問題文全文(内容文)：

$\boxed{2}$

正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を

次のように定める。

$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$

$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$

このとき、以下の問いに答えよ。

(1)$k$を実数とする。

$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。

このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような

$k$の値をすべて求めよ。

(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。

$2025$年東北大学理系過去問題

問題文全文(内容文)：
次の数列の初項から第$n$項までの和を求めよう.

①$\dfrac{1}{2･4},\dfrac{1}{4･6},\dfrac{1}{6･8},･･･$

②$\dfrac{1}{1･4},\dfrac{1}{4･7},\dfrac{1}{7･10},･･･$

問題文全文(内容文)：

$a_1=2,a_{n+1}={a_n}^2-a_n+1$のとき

$\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+･･･+\dfrac{1}{a_{2025}}\lt 1$

を証明して下さい。