素数が絡んだ整数問題(再アップ)【青山学院大学】【数学 入試問題】 - 質問解決D.B.(データベース)

素数が絡んだ整数問題(再アップ)【青山学院大学】【数学 入試問題】

問題文全文(内容文):
素数$p,q$および自然数$n$に対し,$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{pq}=\dfrac{1}{n}$が成り立つような$(p,q,n)$の組をすべて求めよ。

青山学院大過去問
単元: #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師: 数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文):
素数$p,q$および自然数$n$に対し,$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{pq}=\dfrac{1}{n}$が成り立つような$(p,q,n)$の組をすべて求めよ。

青山学院大過去問
投稿日:2022.09.12

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$n$は自然数とする.
$z^{4n+1}=1$の相異なる解を$1,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3・・・・・・\alpha_{4n}$とする.
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3・・・・・・\alpha_{4n}=\Box$
$(\alpha_1-i)(\alpha_2-i)(\alpha_3-i)・・・・・・(\alpha_{4n}-i)=\Box$
$\Box$を求めよ.

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$q+2,q+6,q+8,q+12$がすべて素数になるような素数qが$200$以下の自然数の中に少なくとも3個あることを示せ。
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