【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用6 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。

(2)では、必要ならば

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

を用いてよい。

(1)　

x^{3} - a x + 2 a

=0
(2)　

2 x - 1 = a e^{- x}

チャプター：

0:00　問題概要
0:40　(1)解説
3:04　(2)解説

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
aは定数とする。次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。

(2)では、必要ならば

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = 0

を用いてよい。

(1)　

x^{3} - a x + 2 a

=0
(2)　

2 x - 1 = a e^{- x}

投稿日：2025.01.22

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

関数

f (x) = x^{5} - 2 x^{3} + 9 x

について考える。実数

t

に対して

y = f (x)

上の点(

t, f (t)

)における接線と

x

軸の交点の

x

座標を

g (t)

とおく。
また、正の実数

t

に対して

h (t) = \frac{g (t)}{t}

とおく。次の問いに答えよ。
(1)

g (t)

を求めよ。
(2)

h^{'} (t) = 0

を満たす正の実数

t

を求めよ。
(3)実数

p

は、すべての正の実数

t

に対して|

h (t)

≦ p

を満たすとする。
このような

p

の最小値を求めよ。
(4)

a

を定数とする。

a_{1} = a, a_{n + 1} = g (a_{n})

(n = 1, 2, 3. . .)

で定められる数列

{a_{n}}

に対して、

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

となることを示せ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x > 0

において

\frac{x}{2} + \frac{2}{x^{2}}

の最小値を求めよ.

2022藤田医科大過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(13)　関数方程式

x > 0

で定義された微分可能な関数

f (x)

において、

f (x y) = f (x) + f (y)

が正の数

x, y

に対して常に成り立ち、

f^{'} (1) = 1

とする。

(1)

f (1)

　を求めよ。
(2)

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

　を示せ。

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問題文全文(内容文)：

0 < θ < \frac{π}{2}

のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。

\frac{1}{θ} (\sin θ + \tan θ) > 2

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = x - \sqrt{x^{2}}

は

x = 0

で微分可能出ないことを示せ.

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