問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$がある。
$a_1=1,　a_{n+1}=3a_n+4n　(n=1,2,3,\ldots)$
また、$n$に無関係な定数$p,q$に対し、
$b_n=a_n+pn+q　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。このとき次の問いに答えよ。
(1)$n,p,q$に無関係な定数$A,B,C,D,E$が
$b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq)　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列$\left\{b_n\right\}$が公比$A$の等比数列となるような
$p,q$の値をそれぞれ求めよ。
(3)(2)で求めた$p,q$の値に対して、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよ。

2021立教大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 何も入っていない2つの袋A,Bがある。いま、「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A、裏が出たら袋Bを選び、以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」
という操作を繰り返す。
ルール
・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より多いか、2つの袋の中に入っている玉の数が同じとき、選んだ袋の中に玉を1個入れる。
・選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より少ないとき、選んだ袋の中に入っている玉の数が、もう一方の袋の中に入っている玉の数と同じになるまで選んだ袋の中に玉をいれる。

たとえば、上の操作を3回行ったとき、硬貨が順に表、表、裏と出たとすると、
A,B2つの袋の中の玉の数は次のように変化する。
A：0個　B：0個　→　A：1個　B：0個　→　A：2個　B：0個　→　A：2個　B：2個
(1)4回目の操作を終えたとき、袋Aの中に3個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。また、4回目の操作を終えた時点で袋Aの中に3個以上の玉が入っているという条件の下で、7回目の操作を終えたとき袋Bの中に入っている玉の数が3個以下である条件付き確率は$\boxed{\ \ キ\ \ }$である。
(2)$n$回目の操作を終えたとき、袋Aの中に入っている玉の数のほうが、袋Bの中に入っている玉の数より多い確率を$p_n$とする。
$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表すと$p_{n+1}$=$\boxed{\ \ ク\ \ }$となり、これより$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n$=$\boxed{\ \ ケ\ \ }$となる。
(3)$n$回目($n$≧4)の操作を終えたとき、袋Aの中に$n-1$個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ コ\ \ }$であり、$n-2$個以上の玉が入っている確率は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。

問題文全文(内容文)：
$x^2-4x+1=0$の2つの解を$\alpha,\beta(\alpha \gt \beta)$とする

（1）
$\alpha^n + \beta^n$は偶数であることを示せ($n$自然数)

（2）
$[ \alpha^n ]$は奇数であることを示せ
$[ \alpha^n ]$は$\alpha^n$をこえない最大の整数

出典：2018年香川大学 医学部　過去問

問題文全文(内容文)：
$a_{1}=3$　$a_{n+1} \gt a_{n}$
$n$自然数　一般項を求めよ
$a^2_{n}-2a_{n}a_{n+1}+a_{n+1}^2=3(a_{n}+a_{n+1})$

出典：2015年東北大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$S_n=2a_n^2+\displaystyle \frac{1}{2}a_n-\displaystyle \frac{3}{2}$

すべての項は同符号
一般項を求めよ

出典：2001年早稲田大学 政治経済学部　過去問