【数Ⅲ】不等式を微分を使って証明する【増減表を見て最小値を探す】

問題文全文(内容文)：

(1) x > 1 の と き \log x < \sqrt{x} を 示 せ .

(2) x > 1 の と き \log x < \sqrt{x} を 示 せ .

\to lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0 が 示 せ .

(3) x > 1 の と き, \log x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1} を 示 せ .

(4) x > 0 の と き, \sin x > x - \frac{x^{2}}{2} を 示 せ .

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：めいちゃんねる

問題文全文(内容文)：

(1) x > 1 の と き \log x < \sqrt{x} を 示 せ .

(2) x > 1 の と き \log x < \sqrt{x} を 示 せ .

\to lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0 が 示 せ .

(3) x > 1 の と き, \log x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1} を 示 せ .

(4) x > 0 の と き, \sin x > x - \frac{x^{2}}{2} を 示 せ .

投稿日：2023.01.07

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問題文全文(内容文)：
横浜市立大学過去問題
(1)

x^{3} - x^{2} - x + k = 0 (k > 1)

実根は1個であることを示せ。
(2)(1)の方程式の3根の絶対値はいずれも１より大きいことを示せ。

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問題文全文(内容文)：

n

を2以上の自然数とする。三角形

A B C

において,辺

A B

の長さを

c

,辺

C A

の長さを

b

で表す。

∠ A C B = n ∠ A B C

であるとき,

c < n b

を示せ。

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問題文全文(内容文)：
関数

y = \log (x - 1)

のグラフ上の点P(

- 2, 0

)における接線と法線の方程式を求めよう。

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問題文全文(内容文)：

9

　関数

f (x)

と実数

t

に対し、

x

の関数

t x

f (x)

の最大値があればそれを

g (t)

と書く。
(1)

f (x)

x^{4}

のとき、任意の実数

t

について

g (t)

が存在する。この

g (t)

を求めよ。
以下、関数

f (x)

は連続な導関数

f^{″} (x)

を持ち、次の2つの条件(i),(ii)が成り立つものとする。
(i)

f^{'} (x)

は増加関数、すなわち

a

＜

b

ならば

f^{'} (a)

＜

f^{'} (b)

(ii)

lim_{x \to - \infty} f^{'} (x)

- \infty

　かつ　

lim_{x \to \infty} f^{'} (x)

\infty

(2)任意の実数

t

に対して、

x

の関数

t x

f (x)

は最大値

g (t)

を持つことを示せ。
(3)

s

を実数とする。

t

が実数全体を動くとき、

t

の関数

s t

g (x)

は最大値

f (s)

となることを示せ。

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問題文全文(内容文)：

f (x) = x - \sqrt{x^{2}}

は

x = 0

で微分可能出ないことを示せ.

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