問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=e^x$を考える。
(1)$a,b$を実数とし、$a\geqq 0$とする。曲線Cと直線$y=ax+b$が共有点をもつため
のaとbの条件を求めよ。
(2)正の実数tに対し、C上の点$A(t,e^t)$を中心とし、直線$y=x$に接する円Dを
考える。直線$y=x$と円Dの接点Bのx座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$であり、
円Dの半径は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}$である。線分ABを3:2に内分する点をPとし、Pのx座標、y座標
をそれぞれX(t),Y(t)とする。このとき、等式
$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{Y(t)-kX(t)}{\sqrt{{\{X(t)\}}^2+{\{Y(t)\}}^2}}=0$
が成り立つような実数kを定めると$k=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}$である。
ただし、$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}t{e}^{-t}=0$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 4}}$ 座標空間において、2点(-2,0),(2,0)からの距離の積が4であるような点Pの軌跡を考える。点Pの座標を($x$,$y$)とすると、$x$,$y$は次の方程式を満たす。
$y^4$+$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}{y}^2$+$(\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}{)}^2$=16　...(1)
方程式(1)が表す曲線を$C$とする。$C$の概形を描くことにしよう。まず、曲線$C$と$x$軸との共有点の$x$座標は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$と$\pm \boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}$である。次に、(1)を$y^2$に関する2次方程式とみて解けば、$y^2$≧0　であるので、
$y^2$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$+$4\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}}$　...(2)
となり、また$x$のとりうる値の範囲は
$-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$≦$x$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$
となる。$x$≧0, $y$≧0とすれば、方程式(2)は0≦$x$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}$を定義域とする$x$の関数$y$を定める。このとき、0<$x$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき共有点はなく、0≦$a$≦$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき共有点がある。
共有点の個数は、$a$=0のとき$\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}$個、0<$a$<$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}$個、$a$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$のとき$\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}$個となる。
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}$、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$、$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$の解答群
⓪$x^2+1$　①$-(x^2+1)$　②$x^2-1$　③$-(x^2-1)$　④$x^2+4$　

⑤$2(x^2+4)$　⑥$x^2-4$　⑦$2(x^2-4)$　⑧$-(x^2+4)$　⑨$-2(x^2-4)$　

問題文全文(内容文)：
$a,h$を正の実数とする。座標平面において、原点Oからの距離が
直線$x=h$からの距離の$a$倍であるような点$P$の軌跡を考える。点$P$の座標を$(x,y)$とする
と、$x,y$は次の方程式を満たす。
$(1-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}})x^2+2\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}x+y^2=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}...(1)$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}{a}^2\mathrm{①}{h}^2\mathrm{②}{a}^3\mathrm{③}{a}^{2}h\mathrm{④}a{h}^2$
$\mathrm{⑤}{h}^3\mathrm{⑥}{b}^4\mathrm{⑦}{a}^2{h}^2\mathrm{⑧}a{h}^3\mathrm{⑨}{h}^4$

次に、座標平面の原点$O$を極、$x$軸の正の部分を始線とする極座標を考える。
点$P$の極座標を$(r\theta )$とする。$r\leqq h$を満たすとき、
点$P$の直交座標$(x,y)$を$a,h,\theta$を用いて表すと

$(x,y)=(\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\cos \theta ,\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}\sin \theta )...(2)$
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}ah\mathrm{②}{h}^2\mathrm{③}a{h}^2\mathrm{④}1+a\cos \theta$
$\mathrm{⑤}1+a\sin \theta \mathrm{⑥}a\cos \theta -1\mathrm{⑦}a\sin \theta -1\mathrm{⑧}1-a\cos \theta \mathrm{⑨}1-a\sin \theta$

(1)から、$a=\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}$のとき、点$P$の軌跡は放物線$x=\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$となる。
この放物線とy軸で囲まれた図形の面積$S$は
$S=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}xdy=2{\int }_0^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}{y}^2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}})dy=$
$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}}{h}^2$
である。したがって、(2)を利用すれば、置換積分法により次の等式が成り立つことが分かる。
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{(1+\cos \theta {)}^2}d\theta =\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}},\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$の解答群
$\mathrm{⓪}h\mathrm{①}2h\mathrm{②}\frac{h}{2}\mathrm{③}-\frac{h}{2}\mathrm{④}\frac{1}{h}$
$\mathrm{⑤}-\frac{1}{h}\mathrm{⑥}\frac{1}{2h}\mathrm{⑦}-\frac{1}{2h}\mathrm{⑧}{h}^2\mathrm{⑨}-h^2$

2022明治大学全統理系過去問

問題文全文(内容文)：
数学$\text{III}$　連続と微分可能(5)
$f(x)=\{\begin{array}{}{x}^3+px (x\geqq 2)\\ q{x}^2-px (x<2)\end{array}$
が$x=2$に
おいて微分可能となる$p,q$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$r$を正の実数とし、円$C_1:(x-2{)}^2+y^2=r^2$、楕円$C_2:\frac{x^2}{9}+y^2=1$を考える。
(1)円$C_1$と楕円$C_2$の共有点が存在するようなrの値の範囲は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\leqq r\leqq \boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}}}$である。
(2)$r=1$のとき、$C_1$と$C_2$の共有点の座標を全て求めると$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}}}$である。
これらの共有点のうちy座標が正となる点のy座標を$y_0$とする。連立不等式

$\{\begin{array}{}(x-2{)}^2+y^2\leqq 1\\ 0\leqq y\leqq y_0\end{array}$
の表す領域の面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}}}$である。

(3)連立不等式
$\{\begin{array}{}(x-2{)}^2+y^2\leqq 1\\ {\displaystyle \frac{x^2}{9}+y^2\geqq 1}\\ y\geqq 0\end{array}$
の表す領域をDとする。Dをy軸のまわりに
1回転させてできる立体の体積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}$である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問