問題文全文(内容文)：
次のように定義された数列を$\{a_n\}$とする。
$a_1=r^2,a_2=1,2a_n=(r+3)a_{n-1}-(r+1)a_{n-2}(n \geqq 3)$
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき、$b_n$を$n$と$r$を用いて表せ。
（2）$a_n$を求めよ。
（3）数列$\{a_n\}$が収束するような$r$の範囲およびそのときの極限値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$f(x)=\log(x+1)+1$とする。以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=x$は、$x \gt 0$の範囲でただ1つの解を
もつことを示せ。
(2)(1)の解を$\alpha$とする。実数$x$が$0 \lt x \lt \alpha$を満たすならば、
次の不等式が成り立つことを示せ。
$0 \lt \frac{\alpha-f(x)}{\alpha-x} \lt f'(x)$
(3)数列$\left\{x_n\right\}$を
$x_1=1,　x_{n+1}=f(x_n)　(n=1,2,3,\ldots\ldots)$
で定める。このとき、全ての自然数nに対して
$\alpha -x_{n+1} \lt \frac{1}{2}(\alpha -x_n)$
が成り立つことを示せ。
(4)(3)の数列$\left\{x_n\right\}$について、$\lim_{n \to \infty}x_n=\alpha$を示せ。

2022大阪大学理系過去問

問題文全文(内容文)：
（1）
$A \neq 0$　$a_{1}=1, a_{2}=2A$
$a_{n+2}=2Aa_{n+1}-A^2a_{n}$
一般項を求めよ。


（2）
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }x^2(1=\cos^3 \displaystyle \frac{1}{x})$
極限値を求めよ。

出典：数学検定準１級　過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$　数列$\left\{a_n\right\}$に対して、
$S_n=\sum_{k=1}^na_k　(n=1,2,3,\ldots)$
とおく。$\left\{a_n\right\}$は、$a_2=1,a_6=2$および
(*)$S_n=\frac{(n-2)(n+1)^2}{4}a_{n+1}　(n=1,2,3,\ldots)$
を満たすとする。

(1)$a_1=-\boxed{\ \ ア\ \ }$である。(*)で$n=4,5$とすると、$a_3+a_4$と$a_5$の関係が2通り定まり、
$a_5=\boxed{\ \ イ\ \ }$と求まる。さらに(*)で$n=3$として、$a_3=\boxed{\ \ ウエ\ \ },a_4=\boxed{\ \ オカ\ \ }$と求まる。

(2)$n \geqq 2$に対して$a_n=S_n-S_{n-1}$であるから(*)とあわせて
$(n-\boxed{\ \ キ\ \ })(n+\boxed{\ \ ク\ \ })^2a_{n+1}=(n^3-\boxed{\ \ ケ\ \ }n^2+\boxed{\ \ コ\ \ })a_n　(n=2,3,\ldots)$

ゆえに、$n \geqq 3$ならば$(n+\boxed{\ \ サ\ \ })a_{n+1}=(n-\boxed{\ \ シ\ \ })a_n$となる。そこで、$n \geqq 3$に
対して$b_n=(n-r)(n-s)(n-t)a_n$とおくと、漸化式
$b_{n+1}=b_n　(nz-3,4,5,\ldots)$
が成り立つ。ただしここに、$r \lt s \lt t$として$r=\boxed{\ \ ス\ \ },s=\boxed{\ \ セ\ \ },t=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。
したがって、$n \geqq 4$に対して
$a_n=\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }a_4}{(n-r)(n-s)(n-t)}$
となる。この式は$n=3$の時も成立する。

(3)$n \geqq 2$に対して
$S_n=\frac{\boxed{\ \ チツ\ \ }(n+\boxed{\ \ テ\ \ })(n-\boxed{\ \ ト\ \ })}{n(n-\boxed{\ \ ナ\ \ })}$
であるから、$S_n \geqq 59$となる最小の$n$は$n=\boxed{\ \ ニヌ\ \ }$である。

2021慶應義塾大学経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 次の条件によって定められる数列$\left\{a_n\right\}$について考える。
$a_1$=3,　$a_{n+1}$=$3a_n$－$\displaystyle\frac{3^{n+1}}{n(n+1)}$
(1)$b_n$=$\frac{a_n}{3^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$を$b_n$と$n$の式で表せ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$ の一般項を求めよ。