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数学$\text{II}$三角関数(22)　18°系の三角比(3)
(1)$\cos 5\theta =f(\cos \theta )$を満たす多項式f(x)を求めよ。

(2)$\alpha =18°$のとき次の等式を示せ。
$\cos \alpha \cos 3\alpha \cos 7\alpha \cos 9\alpha =\frac{5}{16}$

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加法定理の説明動画です

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$\mathrm{第}1\mathrm{問}$
[1]　(1)${\log }_{10}10=\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}$である。また、${\log }_{10}5,{\log }_{10}15$をそれぞれ
${\log }_{10}2\mathrm{と}{\log }_{10}3$を用いて表すと
${\log }_{10}5=\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}{\log }_{10}2+\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$
${\log }_{10}15=$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}$
(2)太郎さんと花子さんは、${15}^{20}$について話している。
以下では、${\log }_{10}2=0.3010、$${\log }_{10}3=0.4771$とする。

太郎:${15}^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。${\log }_{10}{15}^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

${\log }_{10}{15}^{20}$は
$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}$$<\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}+1$
を満たす。よって、${15}^{20}\mathrm{は}\boxed{{\displaystyle \mathrm{ク}\mathrm{ケ}}}$桁の数である。

太郎:${15}^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、${\log }_{10}{15}^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}<{15}^{20}$$<(N+1)\mathrm{・}{10}^{\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

${\log }_{10}{15}^{20}$の小数部分は${\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$であり
${\log }_{10}\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}<{\log }_{10}{15}^{20}-\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}\mathrm{キ}}}$$<{\log }_{10}(\boxed{{\displaystyle \mathrm{コ}}}+1)$
が成り立つので、${15}^{20}$の最高位の数字は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}}}$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos \theta ,\sin \theta ),$
$Q(\cos \alpha ,\sin \alpha ),R(\cos \beta ,\sin \beta )$がある。ただし、$0\leqq \theta <\alpha <\beta <2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos \theta +\cos \alpha +\cos \beta ,$$t=\sin \theta +\sin \alpha +\sin \beta$

(1)$\mathrm{△}PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\mathrm{△}PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha ,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{シ}}}}{3}\pi ,}$$\beta =\theta +{\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}}{3}\pi }$
であり、加法定理により
$\cos \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}}, \sin \alpha =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$
である。同様に、$\cos \beta$および$\sin \beta$を、$\sin \theta$と$\cos \theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}},\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}}}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
①${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②${\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
④$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
⑤$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$
②$-{\displaystyle \frac{1}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta }}$
③$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta -{\displaystyle \frac{1}{2}\cos \theta }}$

考察2:$\mathrm{△}PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である。また、$\alpha$は
$\alpha <{\displaystyle \frac{5}{4}\pi , \beta }$は${\displaystyle \frac{5}{4}\pi <\beta }$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin \beta =\cos \alpha , \cos \beta =\sin \alpha$が成り立つ。よって
$s=t={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ツ}}}}+\sin \alpha +\cos \alpha }$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin \alpha +\cos \alpha =$$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{テ}}}}\sin (\alpha +{\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ト}}}}})$
である。したがって

$\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ナ}\mathrm{ニ}}}}{12}\pi , \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヌ}\mathrm{ネ}}}}{12}\pi }}$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta ,\alpha ,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos \theta \cos \alpha +\sin \theta \sin \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ノ}\mathrm{ハ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヒ}}}}}$
であるから、$\theta ,\alpha ,\beta$の範囲に注意すると
$\beta -\alpha =\alpha -\theta ={\displaystyle \frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{フ}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ヘ}}}}\pi }$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$であることが分かる。
$\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \mathrm{ホ}}}}}$の解答群
⓪$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
①$\mathrm{△}PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\mathrm{△}PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\mathrm{△}PQR$は正三角形である。
③$\mathrm{△}PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\mathrm{△}PQR$が正三角形でない場合がある。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ (2)aは正の定数とする。原点をOとするxy平面上に直線l：y=$\frac{2}{3}$xと2点A(0,a), B(17,20)がある。直線l上にとった動点Pと2点A,Bそれぞれを線分で結び、2つの線分の長さの和AP+BPが最小となったとき、$\mathrm{\angle }APO$=45°であった。AP+BPが最小であるとき、直線BPを表す方程式はy=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}}}$であり、三角形ABPの内接円の半径は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{エ}}}$である。

2023慶應義塾大学薬学部過去問

問題文全文(内容文)：

tanα=2,tanβ=4,tan(α+β+γ)=1のときtanγを求めよ。