【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。

チャプター：

0:00 オープニング
0:05 問題文
0:31 解説
2:55 エンディング

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

投稿日：2025.04.02

＜関連動画＞

福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第４問〜円と放物線が接するときの囲まれた面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

a
aを正の実数、bを1より大きい実数としたとき、放物線

y = - a x^{2} + b

が、
下図(※動画参照)のように原点を中心とした半径1の円

x^{2} + y^{2} = 1

と2箇所で
接している。(すなわち共有点において共通の接線を持つ)

(1)一般に、

b = \frac{ア イ a^{2} + ウ エ a + オ カ}{キ ク a + ケ コ}

である。

(2)特に、

a = \frac{\sqrt{2}}{2}

とすると、放物線と円の接点は

(\pm \frac{\sqrt{サ シ}}{ス セ}, \frac{\sqrt{ソ タ}}{チ ツ})

であり、円と放物線に囲まれた上図の斜線部の面積は

\frac{テ ト + ナ ニ π}{ヌ ネ}

となる。

2021慶應義塾大学総合政策学部過去問

この動画を見る　

19神奈川県教員採用試験（数学：面積の最小値）

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#その他#数学(高校生)#その他

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

y = x^{2} - 5 x + 4

と

y = m (n - 2)

で囲まれた面積の最小値とそのときの

m

の値を求めよ.

19神奈川県教員採用試験（数学：面積の最小値）過去問

この動画を見る　

福田の数学〜上智大学2022年TEAP文系型第３問〜３次方程式の解の個数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aを実数の定数として3次関数

f (x) = 9 x^{3} - 9 x + a

を考える。
(1)

y = f (x)

のグラフとx軸の共有点が2つ以上あるようなaの範囲は

ネ \sqrt{ノ} ≦ a ≦ ハ \sqrt{ヒ}

である。
(2)

a = ハ \sqrt{ヒ}

のとき、方程式

f (x) = 0

の最も小さい解は

\frac{フ}{ヘ} \sqrt{ヒ}

であり、

y = f (x)

のグラフとx軸の囲む図形の面積は

\frac{マ}{ミ}

である。

2022上智大学文系過去問

この動画を見る　

福田の数学〜東北大学2024年理系第1問〜放物線と接線と面積

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

a

を正の実数とし、

f (x)

x^{2}

－

2 a x

4 a^{2}

とする。Oを原点とする

x y

平面上の放物線C：

y

f (x)

の頂点をAとする。直線OAとCの交点のうちAと異なるものをP(

p

f (p)

)とし、OからCへ引いた接線の接点をQ(

q

f (q)

)とする。ただし、

q

＞0 とする。
(1)

p

q

の値を

a

を用いて表せ。また、

p

＞

q

であることを示せ。
(2)放物線Cの

q

≦

x

≦

p

の部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sを

a

を用いて表せ。
(3)(2)のSに対し、S=

\frac{2}{3}

となるときの

a

の値を求めよ。

この動画を見る　

数学「大学入試良問集」【12−6 放物線と接線で囲まれた面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#東京都立大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

y = x^{2}

のグラフを

r

とする。

b < a^{2}

をみたす点

P (a, b)

から

r

へ接線を2本引き、接点を

A, B

とする。

r

と2本の線分

P A, P B

で囲まれた図形の面積が

\frac{2}{3}

になるような点

P

の軌跡を求めよ。

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄

＜関連動画＞

福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第４問〜円と放物線が接するときの囲まれた面積

19神奈川県教員採用試験（数学：面積の最小値）

福田の数学〜上智大学2022年TEAP文系型第３問〜３次方程式の解の個数

福田の数学〜東北大学2024年理系第1問〜放物線と接線と面積

数学「大学入試良問集」【12−6 放物線と接線で囲まれた面積】を宇宙一わかりやすく

【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄