福田次郎
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福田のおもしろ数学088〜三角形の図形問題
福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第1問(2)〜3次関数の増減と方程式の解の個数
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (2)$a$,$b$,$c$を実数とし、実数$x$の関数$f(x)$を$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+$c$ とおく。
$f(x)$は$x$=－1で極値3をとり、方程式$f(x)$=0は$x$=－2を解にもつ。
(i)$a$=$\boxed{\ \ ウ\ \ }$, $b$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$, $c$=$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。
(ii)Kを実数とする。方程式$f(x)$=$4x$+K が持つ異なる実数解の個数が2個となるとき、Kの値は$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{1}$ (2)$a$,$b$,$c$を実数とし、実数$x$の関数$f(x)$を$f(x)$=$x^3$+$ax^2$+$bx$+$c$ とおく。
$f(x)$は$x$=－1で極値3をとり、方程式$f(x)$=0は$x$=－2を解にもつ。
(i)$a$=$\boxed{\ \ ウ\ \ }$, $b$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$, $c$=$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。
(ii)Kを実数とする。方程式$f(x)$=$4x$+K が持つ異なる実数解の個数が2個となるとき、Kの値は$\boxed{\ \ カ\ \ }$である。
福田のおもしろ数学087〜絶対値の付いた2変数の方程式の解
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$|x-1|$+$|x-2|$=$|y-1|$+$|y-2|$ を満たす点($x$,$y$)の集合を図示せよ。
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$|x-1|$+$|x-2|$=$|y-1|$+$|y-2|$ を満たす点($x$,$y$)の集合を図示せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2024年薬学部第1問(1)〜等差数列と等比中項
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)$n$を自然数とする。数列$\left\{a_n\right\}$は初項が25, 公差が0でない等差数列であり、3つの項$a_8$, $a_9$, $a_{10}$を
$a_9$, $a_{10}$, $a_8$
の順に並べると等比数列になる。この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。
(i)一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
(ii)不等式$S_n$＜0 を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{1}$ (1)$n$を自然数とする。数列$\left\{a_n\right\}$は初項が25, 公差が0でない等差数列であり、3つの項$a_8$, $a_9$, $a_{10}$を
$a_9$, $a_{10}$, $a_8$
の順に並べると等比数列になる。この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。
(i)一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
(ii)不等式$S_n$＜0 を満たす最小の$n$の値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
福田のおもしろ数学086〜1分チャレンジ〜正三角形2個で作る核を求めよう
福田の数学〜東京工業大学2024年理系第5問〜2次方程式の解が1のn乗根である条件
単元：
#複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 整数の組($a$,$b$)に対して2次式$f(x)$=$x^2$+$ax$+$b$ を考える。方程式$f(x)$=0 の複素数の範囲のすべての解$\alpha$に対して$\alpha^n$=1 となる正の整数$n$が存在するような組($a$,$b$)をすべて求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ 整数の組($a$,$b$)に対して2次式$f(x)$=$x^2$+$ax$+$b$ を考える。方程式$f(x)$=0 の複素数の範囲のすべての解$\alpha$に対して$\alpha^n$=1 となる正の整数$n$が存在するような組($a$,$b$)をすべて求めよ。
福田のおもしろ数学085〜不等式を満たす自然数の組合せ
単元：
#数Ⅰ#２次関数#2次方程式と2次不等式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a$＜$b$＜$c$を満たす正の整数の組($a$,$b$,$c$)であって、
$a^2$－$20005a$＞$b^2$－$20005b$＞$c^2$－$20005c$
が成り立つものはいくつあるか。
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$a$＜$b$＜$c$を満たす正の整数の組($a$,$b$,$c$)であって、
$a^2$－$20005a$＞$b^2$－$20005b$＞$c^2$－$20005c$
が成り立つものはいくつあるか。
福田の数学〜東京工業大学2024年理系第4問〜表の出る確率が異なるコインを投げたときの表が奇数枚出る確率と極限
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とし、$C_1$,...,$C_n$を$n$枚の硬貨とする。各$k$=1,...,$n$に対し、硬貨$C_k$を投げて表が出る確率を$p_k$、裏が出る確率を1－$p_k$とする。この$n$枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)$p_k$=$\frac{1}{3}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$X_n$を求めよ。
(2)$p_k$=$\frac{1}{2(k+1)}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$Y_n$を求めよ。
(3)$n$=$3m$($m$は正の定数)で$k$=1,...,$3m$に対して
$p_k$=$\left\{\begin{array}{1}
\frac{1}{3m} (k=1,...,m) \\
\frac{2}{3m} (k=m+1,...,2m)\\
\frac{1}{m} (k=2m+1,...,3m)\\
\end{array}\right.$
とする。このゲームで成功する確率を$Z_{3m}$とするとき、$\displaystyle\lim_{m \to \infty}Z_{3m}$ を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ $n$を正の整数とし、$C_1$,...,$C_n$を$n$枚の硬貨とする。各$k$=1,...,$n$に対し、硬貨$C_k$を投げて表が出る確率を$p_k$、裏が出る確率を1－$p_k$とする。この$n$枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)$p_k$=$\frac{1}{3}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$X_n$を求めよ。
(2)$p_k$=$\frac{1}{2(k+1)}$ ($k$=1,...,$n$)のとき、このゲームで成功する確率$Y_n$を求めよ。
(3)$n$=$3m$($m$は正の定数)で$k$=1,...,$3m$に対して
$p_k$=$\left\{\begin{array}{1}
\frac{1}{3m} (k=1,...,m) \\
\frac{2}{3m} (k=m+1,...,2m)\\
\frac{1}{m} (k=2m+1,...,3m)\\
\end{array}\right.$
とする。このゲームで成功する確率を$Z_{3m}$とするとき、$\displaystyle\lim_{m \to \infty}Z_{3m}$ を求めよ。
福田のおもしろ数学084〜85をいくつかの和で一意的に表す
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
85は7つの数
1,2,4,8,16,32,64
のいくつかの和としてただ1通りに表されることを示せ。
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85は7つの数
1,2,4,8,16,32,64
のいくつかの和としてただ1通りに表されることを示せ。
福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $xy$平面上に、点A($a$,0), B(0,$b$), C($-a$,0)(ただし0＜$a$＜$b$)をとる。点A,Bを通る直線を$l$とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を$k$とする。さらに、点Aを通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_1$とし、点$C_1$を通り、$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_1$とする。以下、$n$=1,2,3,...に対して、点$A_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_{n+1}$、点$C_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_{n+1}$とする。
(1)点$A_n$, $C_n$の座標を求めよ。
(2)△$CBA_n$の面積$S_n$を求めよ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{BA_n}{BC}$を求めよ。
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$\Large\boxed{3}$ $xy$平面上に、点A($a$,0), B(0,$b$), C($-a$,0)(ただし0＜$a$＜$b$)をとる。点A,Bを通る直線を$l$とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を$k$とする。さらに、点Aを通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_1$とし、点$C_1$を通り、$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_1$とする。以下、$n$=1,2,3,...に対して、点$A_n$を通り$y$軸に平行な直線と直線$k$との交点を$C_{n+1}$、点$C_{n+1}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$l$との交点を$A_{n+1}$とする。
(1)点$A_n$, $C_n$の座標を求めよ。
(2)△$CBA_n$の面積$S_n$を求めよ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{BA_n}{BC}$を求めよ。
福田のおもしろ数学083〜長方形内の正方形の一辺の長さ
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正方形の一辺の長さを求めよ。(※動画参照)
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正方形の一辺の長さを求めよ。(※動画参照)
福田の数学〜東京工業大学2024年理系第2問〜関数方程式と曲線の長さ
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数$f(t)$, $g(t)$が次の6つの条件を満たしているとする。
$f'(t)$=$-f(t)g(t)$, $g'(t)$=$\left\{f(t)\right\}^2$,
$f(t)$＞0, $|g(t)|$＜1, $f(0)$=1, $g(0)$=0
このとき $p(t)$=$\left\{f(t)\right\}^2$+$\left\{g(t)\right\}^2$, $q(t)$=$\log\frac{1+g(t)}{1-g(t)}$ とおく。
(1)$p'(t)$を求めよ。
(2)$q'(t)$は定数関数であることを示せ。
(3)$\displaystyle\lim_{t \to \infty}g(t)$を求めよ。
(4)$f(T)$=$g(T)$となる正の実数$T$に対して、媒介変数表示された平面曲線($x$,$y$)=($f(t)$,$g(t)$) (0≦$t$≦$T$)の長さを求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ 実数全体を定義域にもつ微分可能な関数$f(t)$, $g(t)$が次の6つの条件を満たしているとする。
$f'(t)$=$-f(t)g(t)$, $g'(t)$=$\left\{f(t)\right\}^2$,
$f(t)$＞0, $|g(t)|$＜1, $f(0)$=1, $g(0)$=0
このとき $p(t)$=$\left\{f(t)\right\}^2$+$\left\{g(t)\right\}^2$, $q(t)$=$\log\frac{1+g(t)}{1-g(t)}$ とおく。
(1)$p'(t)$を求めよ。
(2)$q'(t)$は定数関数であることを示せ。
(3)$\displaystyle\lim_{t \to \infty}g(t)$を求めよ。
(4)$f(T)$=$g(T)$となる正の実数$T$に対して、媒介変数表示された平面曲線($x$,$y$)=($f(t)$,$g(t)$) (0≦$t$≦$T$)の長さを求めよ。
福田のおもしろ数学082〜正方形の面積は
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正方形ABCDの面積を求めよ。(※動画参照)
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正方形ABCDの面積を求めよ。(※動画参照)
福田の数学〜京都大学2024年文系第5問〜放物線の一部と直線が異なる2つの共有点をもつ条件
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 関数$y$=$x^2$－$4x$+5 のグラフの$x$＞1 の部分をCとする。このとき、下の条件を満たすような正の実数$a$,$b$について、座標平面の点($a$,$b$)が動く領域の面積を求めよ。
「Cと直線$y$=$ax$+$b$ は二つの異なる共有点をもつ。」
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$\Large\boxed{5}$ 関数$y$=$x^2$－$4x$+5 のグラフの$x$＞1 の部分をCとする。このとき、下の条件を満たすような正の実数$a$,$b$について、座標平面の点($a$,$b$)が動く領域の面積を求めよ。
「Cと直線$y$=$ax$+$b$ は二つの異なる共有点をもつ。」
福田のおもしろ数学081〜京大の珍問奇問〜分母の有理化
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}$ を有理化せよ。
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$\displaystyle\frac{55}{2\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+5}$ を有理化せよ。
福田の数学〜京都大学2024年文系第4問〜8進法9進法10進法で表して桁数の変わらない数
単元：
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてもよい。
0.3010＜$\log_{10}2$＜0.3011, 0.4771＜$\log_{10}3$＜0.4772
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$\Large\boxed{4}$ ある自然数を八進法、九進法、十進法でそれぞれ表したとき、桁数がすべて同じになった。このような自然数で最大のものを求めよ。ただし、必要なら次を用いてもよい。
0.3010＜$\log_{10}2$＜0.3011, 0.4771＜$\log_{10}3$＜0.4772
福田のおもしろ数学080〜虚数係数の2次方程式
単元：
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問題文全文(内容文)：
2次方程式 $x^2$+$ix$+2=0 を解け。
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2次方程式 $x^2$+$ix$+2=0 を解け。
福田の数学〜京都大学2024年文系第3問〜絶対値の付いた2次関数の最大値
単元：
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問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $a$は正の定数とする。次の関数の最大値を求めよ。
$f(x)$=$\displaystyle\left|x^2-\left(ax+\frac{3}{4}a^2\right)\right|$+$ax$+$\displaystyle\frac{3}{4}a^2$ (－1≦$x$≦1)
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$\Large\boxed{3}$ $a$は正の定数とする。次の関数の最大値を求めよ。
$f(x)$=$\displaystyle\left|x^2-\left(ax+\frac{3}{4}a^2\right)\right|$+$ax$+$\displaystyle\frac{3}{4}a^2$ (－1≦$x$≦1)
福田のおもしろ数学079〜交差する三角柱の共通部分の体積
単元：
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
共通部分の体積を求めよ。(※動画参照)
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共通部分の体積を求めよ。(※動画参照)
福田の数学〜京都大学2024年文系第2問〜立方体を塗り分ける確率
単元：
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $n$個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を$p_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$p_3$を求めよ。
(2)$p_4$を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ $n$個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率を$p_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$p_3$を求めよ。
(2)$p_4$を求めよ。
福田のおもしろ数学078〜条件式から式の値を求める
単元：
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\left\{\begin{array}{1}
ax+by=3\\
ax^2+by^2=7\\
ax^3+by^3=16\\
ax^4+by^4=42\\
\end{array}\right.
$
のとき
$ax^5+by^5$ の値を求めよ。
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$\left\{\begin{array}{1}
ax+by=3\\
ax^2+by^2=7\\
ax^3+by^3=16\\
ax^4+by^4=42\\
\end{array}\right.
$
のとき
$ax^5+by^5$ の値を求めよ。
福田の数学〜京都大学2024年文系第1問〜四面体の体積
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 四面体OABCが次を満たすとする。
OA=OB=OC=1, ∠COA=∠COB=∠ACB, ∠AOB=90°
このとき、四面体OABCの体積を求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 四面体OABCが次を満たすとする。
OA=OB=OC=1, ∠COA=∠COB=∠ACB, ∠AOB=90°
このとき、四面体OABCの体積を求めよ。
福田のおもしろ数学077〜3通りの解法を考えよう〜4変数の式の最大値
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a^2$+$b^2$=9, $c^2$+$d^2$=16 のとき$ab$+$cd$ の最大値を求めよ。
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$a^2$+$b^2$=9, $c^2$+$d^2$=16 のとき$ab$+$cd$ の最大値を求めよ。
福田の数学〜京都大学2024年理系第6問〜桁数がn桁の数列の中に含まれる最高位1の項の割合
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ 自然数$k$に対して、$a_k$=$2^{\sqrt k}$とする。$n$を自然数とし、$a_k$の整数部分が$n$桁であるような$k$の個数を$N_n$とする。また、$a_k$の整数部分が$n$桁であり、その最高位の数字が1であるような$k$の個数を$L_n$とする。次を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{L_n}{N_n}$
ただし、例えば実数2345.678 の整数部分2345は4桁で、最高位の数字は2である。
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$\Large\boxed{6}$ 自然数$k$に対して、$a_k$=$2^{\sqrt k}$とする。$n$を自然数とし、$a_k$の整数部分が$n$桁であるような$k$の個数を$N_n$とする。また、$a_k$の整数部分が$n$桁であり、その最高位の数字が1であるような$k$の個数を$L_n$とする。次を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{L_n}{N_n}$
ただし、例えば実数2345.678 の整数部分2345は4桁で、最高位の数字は2である。
福田のおもしろ数学076〜三角形の外接円の半径は
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図の三角形ABCの外接円の半径を求めよ。(※動画参照)
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図の三角形ABCの外接円の半径を求めよ。(※動画参照)
福田の数学〜京都大学2024年理系第5問〜指数関数で囲まれた図形の面積と極限
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ $a$は$a$≧1を満たす定数とする。座標平面上で、次の4つの不等式が表す領域を$D_a$とする。
$x$≧0, $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$≦$y$, $y$≦$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $y$≦$a$
次の問いに答えよ。
(1)$D_a$の面積$S_a$を求めよ。
(2)$\displaystyle\lim_{a \to \infty}S_a$ を求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ $a$は$a$≧1を満たす定数とする。座標平面上で、次の4つの不等式が表す領域を$D_a$とする。
$x$≧0, $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$≦$y$, $y$≦$\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $y$≦$a$
次の問いに答えよ。
(1)$D_a$の面積$S_a$を求めよ。
(2)$\displaystyle\lim_{a \to \infty}S_a$ を求めよ。
福田のおもしろ数学075〜1分チャレンジ〜扇形から作る円錐の体積
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
半径5、中心角288°の扇形をまるめて、円錐形のコップを作る。その容積は？
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半径5、中心角288°の扇形をまるめて、円錐形のコップを作る。その容積は？
福田の数学〜京都大学2024年理系第4問〜その項が偶数であるかないかで定義が変わる漸化式
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 与えられた自然数$a_0$に対して、自然数からなる数列$a_0$,$a_1$,$a_2$, ... を次のように定める。
$a_{n+1}$=$\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{a_n}{2} (a_nが偶数のとき)\\
\displaystyle\frac{3a_n+1}{2} (a_nが奇数のとき)\\
\end{array}\right.$
次の問いに答えよ。
(1)$a_0$,$a_1$,$a_2$,$a_3$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。
(2)$a_0$,$a_1$,...,$a_{10}$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 与えられた自然数$a_0$に対して、自然数からなる数列$a_0$,$a_1$,$a_2$, ... を次のように定める。
$a_{n+1}$=$\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{a_n}{2} (a_nが偶数のとき)\\
\displaystyle\frac{3a_n+1}{2} (a_nが奇数のとき)\\
\end{array}\right.$
次の問いに答えよ。
(1)$a_0$,$a_1$,$a_2$,$a_3$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。
(2)$a_0$,$a_1$,...,$a_{10}$がすべて奇数であるような最小の自然数$a_0$を求めよ。
福田のおもしろ数学074〜大小比較をしよう
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
1より小さい$n$個の正の数$a_1$,$a_2$,...,$a_n$ に対して
1－$a_1$$a_2$...$a_n$と(1-$a_1$)(1-$a_2$)...(1-$a_n$)
のどちらが大きいか。$n$≧2 とする。
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1より小さい$n$個の正の数$a_1$,$a_2$,...,$a_n$ に対して
1－$a_1$$a_2$...$a_n$と(1-$a_1$)(1-$a_2$)...(1-$a_n$)
のどちらが大きいか。$n$≧2 とする。
福田の数学〜京都大学2024年理系第3問〜2直線がねじれの位置になるための必要十分条件
単元：
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指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標空間の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP、線分ABの中点をQとする。実数$x$,$y$に対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。
$\overrightarrow{\textrm{OX}}$=$x\overrightarrow{\textrm{OC}}$, $\overrightarrow{\textrm{BY}}$=$y\overrightarrow{\textrm{BC}}$
このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための$x$,$y$に関する必要十分条件を求めよ。
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$\Large\boxed{3}$ 座標空間の4点O,A,B,Cは同一平面上にないとする。線分OAの中点をP、線分ABの中点をQとする。実数$x$,$y$に対して、直線OC上の点Xと、直線BC上の点Yを次のように定める。
$\overrightarrow{\textrm{OX}}$=$x\overrightarrow{\textrm{OC}}$, $\overrightarrow{\textrm{BY}}$=$y\overrightarrow{\textrm{BC}}$
このとき、直線QYと直線PXがねじれの位置にあるための$x$,$y$に関する必要十分条件を求めよ。