数学的帰納法

【数B】数列：2つ前までさかのぼる数学的帰納法：すべての自然数nについて、t=x+1/xとおくと、x^n+1/x^nはtのn次式であることを証明せよ。

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
すべての自然数

n

について、

t = x + \frac{1}{x}

とおくと、

\frac{x^{n} + 1}{x^{n}}

は

t

の

n

次式であることを証明せよ。

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【数B】数列：a1=1,a[n+1]=(a[n]-4)/(a[n]-3) (n=1,2,...)で定められた数列について次の問に答えよ。(1)a2,a3,a4を求め一般項a[n]を推定せよ他

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 4}{a_{n} - 3} (n = 1, 2, . . .)

で定められた数列について、次の問に答えよ。
(1)

a_{2}, a_{3}, a_{4}

を求め、一般項

a_{n}

を推定せよ。
(2)(1)で求めた

a_{n}

が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

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宮崎大　数学的帰納法　合同式

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} = 2^{n} + 1

a_{n}

のうち5で割り切れるものを小さい順に並べた数列を

b_{k}

とする.

(1)

b_{k}

を推定せよ.
(2)(1)の推定が全ての自然数

k

で成立することを証明せよ.

宮崎大過去問

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合同式　数学的帰納法　東工大

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

は自然数である.

79^{n} + (- 1)^{n} {.2}^{6 n - 5}

は必ずある自然数であるとき,

m

の倍数と最大値を求めよ.

東工大過去問

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【数Ｂ】数学的帰納法が意味不明な人へ【新しいイメージで考える】

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数Ｂ】数学的帰納法解説動画です
-----------------

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \dots + (2 n - 1)^{2} =

\frac{1}{2} n (2 n - 1) (2 n + 1)

を証明せよ

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信州大　二項展開　数学的帰納法　合同式　良問再投稿

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#信州大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

4^{2 n - 1} + 3^{n + 1}

13の倍数であることを示せ
3通りの解法

出典：信州大学　過去問

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数学的帰納法合同式

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

4^{3 n - 1} - 7^{2 n - 2}

は15の倍数であることを示せ

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名古屋大　数列　不等式の証明

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 0, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n}^{2} + 5} - 1

　(

n

自然数)

（1）

0 ≦ a_{n} < 2

を示せ

（2）

a_{n} < a_{n + 1}

を示せ

出典：名古屋大学　過去問

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千葉大漸化式証明

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} \frac{(1 + \sqrt{3})^{n} + (1 - \sqrt{3})^{n}}{4}

n ≧ 2

の自然数

（1）

a_{n}

は整数

（2）

a_{n}

を3で割ると余りは2である

出典：2013年千葉大学　過去問

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東大数学 Mathematics Japanese university entrance exam Tokyo University

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a, b

実数

a^{2} + b^{2} = 16

a^{3} + b^{3} = 44

（1）

a + b

の値は？

（2）

a^{n} + b^{n} (n ≧ 2,

自然数

)

が4の倍数であることを示せ

出典：1997年東京大学　過去問

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富山県立大　数学的帰納法・二項展開・合同式 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#富山県立大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

13^{n} + 2 ・ 23^{n - 1}

は常にある数の倍数であることを示せ

出典：富山県立大学　過去問

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【数学】数学的に全人類ハゲなんじゃね？～定義の大切さ～

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
数学的帰納法についての説明動画です

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佐賀大 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#佐賀大学#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
佐賀大学過去問題
n自然数
(1)

n! ≧ 2^{n - 1}

(2)

1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} < 3

　証明せよ

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福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察５（受験編）

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#接線と増減表・最大値・最小値#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#微分とその応用#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

n

個の正の数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

に対して

\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}

≧ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}

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静岡大　数学的帰納法　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#数列#数学的帰納法#静岡大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
静岡大学過去問題
n自然数
(1)

4^{n + 1} + 5^{2 n - 1}

は21で割り切れることを証明
(2)次の条件を満たす定数でない多項式f(x)を推定し、その推定が正しいことを証明せよ。
(a)f(4)=21
(b)すべての自然数nに対し

x^{n + 1} + (x + 1)^{2 n - 1}

はf(x)で割り切れる。

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一橋大　整数問題　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
'98一橋大学過去問題
すべての自然数nに対して

5^{n} + a n + b

が16の倍数となるような
16以下の自然数a,bを求めよ。

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和歌山大　ド・モアブルの定理 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#数学的帰納法#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#和歌山大学#数B#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
和歌山大学過去問題

a_{1} = b_{1} = 1

a_{n + 1} = a_{n} - b_{n}

b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

(1)

a_{n} + b_{n} i = (1 + i)^{n}

を数学的帰納法で証明せよ。
(2)

a_{N} = 2^{100}

となる自然数Nをすべて求めよ。

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一橋大　数学的帰納法　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2009一橋大学過去問題

α =^{3} \sqrt{7 + 5 \sqrt{2}}

β =^{3} \sqrt{7 - 5 \sqrt{2}}

n自然数

α^{n} + β^{n}

は自然数であることを示せ。

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ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明するよ。

単元： #複素数平面#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明していきます.

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【For you 動画－１６】　　数B－数学的帰納法

単元： #数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
[i]①＿＿＿＿のとき成り立つことを確かめる。
[ii]②＿＿＿＿のとき成り立つと③＿＿＿＿して、それを使って④＿＿＿＿のときに成り立つことをいう。

[iii]『以上より、すべての自然数について成り立つ』と書こう!

◎

n

を自然数とするとき、

3^{n} > 2 n

を証明しよう!

[i]⑤＿＿＿＿のとき、⑥＿＿＿＿より成り立つ。

[ii]⑦＿＿＿＿のとき成り立つと⑧すると
⑨

⑩＿＿＿＿のとき、⑪＿＿＿＿を考えると

⑫

つまり

3^{k + 1} > 2 (k + 1)

となり

n = k + 1

のとき成り立つ。

[ iii] 以上より、すべての自然数について成り立つ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数学的帰納法

【数B】数列：2つ前までさかのぼる数学的帰納法：すべての自然数nについて、t=x+1/xとおくと、x^n+1/x^nはtのn次式であることを証明せよ。

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宮崎大 数学的帰納法 合同式

合同式 数学的帰納法 東工大

【数Ｂ】数学的帰納法が意味不明な人へ【新しいイメージで考える】

信州大 二項展開 数学的帰納法 合同式 良問再投稿

数学的帰納法 合同式

名古屋大 数列 不等式の証明

千葉大 漸化式 証明

東大 数学 Mathematics Japanese university entrance exam Tokyo University

富山県立大 数学的帰納法・二項展開・合同式 Mathematics Japanese university entrance exam

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静岡大 数学的帰納法 高校数学 Japanese university entrance exam questions

一橋大 整数問題 高校数学 Japanese university entrance exam questions

和歌山大 ド・モアブルの定理 Japanese university entrance exam questions

一橋大 数学的帰納法 高校数学 Japanese university entrance exam questions

ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明するよ。

【For you 動画－１６】 数B－数学的帰納法

【数B】数列：a1=1,a[n+1]=(a[n]-4)/(a[n]-3) (n=1,2,...)で定められた数列について次の問に答えよ。(1)a2,a3,a4を求め一般項a[n]を推定せよ他

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静岡大　数学的帰納法　高校数学 Japanese university entrance exam questions

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