ベクトルと平面図形、ベクトル方程式

福田の数学〜大阪大学2023年理系第２問〜ベクトルと領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

平面上の3点O,A,Bが
|2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

|=|

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

|=1　かつ　(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)=

\frac{1}{3}

を満たすとする。
(1)(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

)を求めよ。
(2)平面上の点Pが
|

\vec{O P}

ー(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)|≦

\frac{1}{3}

　かつ　

\vec{O P}

・(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)≦

\frac{1}{3}

を満たすように動くとき、|

\vec{O P}

|の最大値と最小値を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜東京大学2023年理系第４問〜球面と三角形が共有点をもつ条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#空間ベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)

\vec{O P} ⊥ \vec{O A}

,

\vec{O P} ⊥ \vec{O B}

,

\vec{O P} ⊥ \vec{O C}

=1　を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。

\vec{O H}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)点Qを

\vec{O Q}

=

\frac{3}{4} \vec{O A}

+

\vec{O P}

により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

2023東京大学理系過去問

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福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART2)〜4直線に接する球面の決定

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。

2023東京工業大学理系過去問

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【数検2級】高校数学：数学検定2級2次：問題4

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学検定#数学検定2級#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
AB＝5,BC＝6,CA＝4である△ABCの内接円の中心をIとします。また、直線AIと辺BCの交点をDとします。
このとき、

\vec{A B} ＝ \vec{b}

　,

\vec{A C} ＝ \vec{c}

として、次の問いに答えなさい。
(1)　

\vec{A D}

を

\vec{b}

,

\vec{c}

を用いて表しなさい。
(2)　

\vec{A I}

を

\vec{b}

,

\vec{c}

を用いて表しなさい。

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題077〜東京大学2018年度理系第３問〜ベクトル方程式の表す点の存在範囲と面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#微分法と積分法#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
第3問
放物線y=

x^{2}

のうち-1≦x≦1を満たす部分をCとする。
座標平面上の原点Oと点A(1,0)を考える。k＞0を実数とする。点PがC上を動き、点Qが線分OA上を動くとき

\vec{O R}

=

\frac{1}{k} \vec{O P}

+

k \vec{O Q}

を満たす点Rが動く領域の面積をS(k)とする。
S(k)および

lim_{k \to + 0} S (k)

,　

lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題071〜東京医科歯科大学2017年度医学部第２問〜空間における球面と軌跡の問題

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京医科歯科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

xyz空間において、点O(0, 0, 0)と点A(0, 0, 1)を結ぶ線分OAを直径にもつ球面を

σ

とする。このとき以下の各問に答えよ。
(1) 球面

σ

の方程式を求めよ。
(2) xy平面上にあってOと異なる点Pに対して、線分APと球面

σ

との交点をQとするとき、

\vec{O Q} ⊥ \vec{A P}

を示せ。
(3) 点S(p, q, r)を

\vec{O S} ・ \vec{A S} = - | \vec{O S} |^{2}

を満たす、xy平面上にない定点とする。

σ

上の点Qが

\vec{O S} ⊥ \vec{S Q}

を満たしながら動くとき、直線AQとxy平面上の交点Pはどのような図形を描くか。p, q, rを用いて答えよ。

2017東京医科歯科大学医学部過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題034〜東京大学2017年度文系第２問〜点の存在範囲

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正六角形ABCDEFが与えられている。点Pが辺AB上を、
点Qが辺CD上をそれぞれ独立に動くとき、線分PQを2:1に内分する点Rが
通りうる範囲の面積を求めよ。

2017東京大学文系過去問

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【数C】ベクトルの基本⑰2直線のなす鋭角を求める

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2直線√3x+3y-1=0, -x+√3y-2=0のなす鋭角αを求めよ

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【数C】ベクトルの基本⑯点の存在範囲を考える

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
点の存在範囲を考える問題

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ベクトルの簡単すぎる京大の問題【京都大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数C

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

△ O A B

において

O A = 3, O B = 2, ∠ A O B = 90^{\circ}

とする。

△ O A B

の垂心を

H

とするとき,

\vec{O H}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

京都大過去問

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【数C】ベクトルの基本⑮直線の方程式を求める

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
A(3,5),方向ベクトルd=(1,2)のとき直線の方程式を求めよ。
A(1,3),B(2,4)のとき2点を通る直線の方程式を求めよ。
A(3,2),法線ベクトルd=(4,5)のとき直線の方程式を求めよ。

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【数C】ベクトルの基本⑭係数比較、メネラウスの定理でベクトルを求める

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD,BEの交点をPとする。ABをb,ACをcとするとき、APをb,cを用いて表せ

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【数C】ベクトルが「平行」であるときの典型解法をおさえよう！

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #アドバンスプラス#アドバンスプラス数Ⅱ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
アドバンスプラス数学B
問題615
vec(a)=(1,x),vec(b)=(x,4)が平行であるような実数xの値を求めよ。

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【数C】ベクトルの基本⑬内心ベクトルの求め方

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
角A=60°,AB=8,AC=5である三角形ABCの内心をIとする。AB=b,AC=cとするときAIをb,cを用いて表せ

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【数C】ベクトルの基本⑫位置ベクトルの考え方

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
位置ベクトルの考え方についての動画です！

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【数C】ベクトルの基本⑪平面ベクトルのときの三角形の面積の計算

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #チャート式#青チャートⅡ・B#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
3点A(-2,1),B(3,0),C(2,4)が与えられたとき、三角形ABCの面積を求めよ

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福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
tを正の実数とする。

O A = 1, O B = t

である三角形OABにおいて、

\vec{a} = \vec{O A}

\vec{b} = \vec{O B}, ∠ A O B = θ

とする。ただし、

0 < θ < \frac{π}{2}

とする。また、辺OAの中点
をM、辺OBを1:2に内分する点をNとする。次の問いに答えよ。
(1)

\vec{A N}

と

\vec{B M}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(2)内積

\vec{A N} ・ \vec{B M}

を

t

と

\cos θ

を用いて表せ。
(3)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

を

t

を用いて表せ。
(4)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

であるとき、

\cos θ

の最小値とそれを与えるtの値をそれぞれ求めよ。
(5)

\vec{A N} ∟ \vec{B M}

となるθが存在するtの値の範囲を求めよ。

2022立教大学経済学部過去問

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福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(3)〜垂線の足の位置ベクトル

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上のベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、

A B = 5, A C = 6

、角Aの大きさは

\frac{π}{3}

であるとする。
Aから辺BCに垂線AHを下ろす。このとき

B H : C H = ウ : エ

である。

2022立教大学理学部過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2022年商学部第２問〜空間ベクトルと平面の方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

点Oを原点とするxyz座標空間に、2点A(2,3,1),\ B(-2,1,3)をとる。
また、x座標が正の点Cを、

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

に垂直で、

| \vec{O C} | = 8 \sqrt{3}

となるように定める。
(1)

△ O A B

の面積は

ア \sqrt{イ}

である。
(2)点Cの座標は

(ウ, エ オ, カ)

である。
(3)四面体OABCの体積は

キ ク

である。
(4)平面ABCの方程式は

x + ケ y + コ z - サ シ = 0

である。
(5)原点Oから平面ABCに垂線OHを下ろしたとき、点Hの座標は

(\frac{ス}{セ ソ}, \frac{タ}{チ}, \frac{ツ テ}{ト ナ})

である。

2022慶應義塾大学商学部過去問

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福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年理工学部第１問(1)〜空間のベクトル方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(1)

\vec{a} = (\sqrt{3}, 0, 1)

とする。
空間ベクトル

\vec{b}, \vec{c}

はともに大きさが1であり、

\vec{a} ∟ \vec{b}, \vec{b} ∟ \vec{c}, \vec{c} ∟ \vec{a}

とする。

(i) p, q, r

を実数とし、

\vec{x} = p \vec{a} + q \vec{b} + r \vec{c}

とするとき、
内積

\vec{x} ・ \vec{a}

と

\vec{x}

の大きさ

| \vec{x} |

をp,q,rを用いて表すと、

\vec{x} ・ \vec{a} = ア, | \vec{x} | = イ

である。

(ii) (5, 0, z) = s \vec{a} + (\cos θ) \vec{b} + (\sin θ) \vec{c}

を満たす実数

s, θ

が存在するような
実数zは2個あるが、それらを全て求めると

z = ウ

である。

2022慶應義塾大学理工学部過去問

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【数B】平面ベクトル：ベクトルの基本① 基本的な考え方「終わり－始め」

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
ベクトルの基本的な考え方、ベクトルの和、始点の変更に関して解説していきます.

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福田の数学〜九州大学2022年文系第２問〜点と平面の距離と対称点

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間内の4点

O (0, 0, 0), A (1, 1, 0), B (2, 1, 2), P (4, 0, - 1)

を考える。3点O,A,Bを通る平面を

α

とし、

\vec{a} = \vec{O A}

,

\vec{b} = \vec{O B}

とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)ベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の両方に垂直であり、x成分が正であるような、大きさが1
のベクトル

\vec{n}

を求めよ。
(2)点Pから平面

α

に垂線を下ろし、その交点をQとおく。
線分PQの長さを求めよ。
(3)平面

α

に関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。

2022九州大学文系過去問

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福田の数学〜九州大学2022年理系第５問の背景を考える〜内サイクロイド曲線（ハイポサイクロイド、アステロイド）の媒介変数表示

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上の曲線#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#九州大学#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面上の曲線Cを、媒介変数tを用いて次のように定める。

x = 5 \cos t + \cos 5 t, y = 5 \sin t - \sin 5 t (- π ≦ t < π)

以下の問いに答えよ。
(1)区間

0 < t < \frac{π}{6}

において、

\frac{d x}{d t} < 0, \frac{d y}{d x} < 0

であることを示せ。
(2)曲線Cの

0 ≦ t ≦ \frac{π}{6}

の部分、x軸、直線

y = \frac{1}{\sqrt{3}} x

で囲まれた
図形の面積を求めよ。
(3)曲線Cはx軸に関して対称であることを示せ。また、C上の点を
原点を中心として反時計回りに

\frac{π}{3}

だけ回転させた点はC上
にあることを示せ。
(4)曲線Cの概形を図示せよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜九州大学2022年理系第１問〜空間における折れ線の最小〜平面の方程式を勉強するよ！

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標空間内の5点

O (0, 0, 0), A (1, 1, 0), B (2, 1, 2), P (4, 0, - 1), Q (4, 0, 5)

を考える。3点O,A,Bを通る平面を

α

とし、

\vec{a} = \vec{O A}, \vec{b} = \vec{O B}

とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)ベクトル

\vec{a}, \vec{b}

の両方に垂直であり、x成分が正であるような、
大きさが1のベクトル

\vec{n}

を求めよ。
(2)平面

α

に関して点Pと対称な点P'の座標を求めよ。
(3)点Rが平面

α

上を動くとき、

| \vec{P R} | + | \vec{R Q} |

が最小となるような
点Rの座標を求めよ。

2022九州大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2022年文系第１問〜交点の位置ベクトルと線分の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をM、辺ACを1:2に内分する点をNとする。
また、線分BNと線分CMの交点をPとする。
(1)

\vec{A P}

を、

\vec{A B}

と

\vec{A C}

を用いて表せ。
(2)辺BC,CA,CBの長さをそれぞれa,b,cとするとき、線分APの長さを、a,b,cを用いて表せ。

2022大阪大学文系過去問

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【受験算数】平面図形：海城過去問～正六角形と正三角形の面積を比べる

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
周の長さが6㎝の正六角形の面積は、周の長さが6㎝の正三角形の面積の何倍ですか。

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【ベクトル方程式→図の考え方はこれ！】ベクトル方程式の基礎を解説しました〔数学、高校数学〕

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
ベクトル方程式の基礎について解説します。

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【位置ベクトルっていつ使うの？】ベクトルの基礎と考え方を解説！〔数学、高校数学〕

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：
ベクトルの基礎と考え方について解説します。

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【数学B/平面ベクトル】点Pの存在範囲（２）

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：

△ O A B

に対して、点

P

が次の条件を満たしながら動くとき、点

P

の存在範囲を図示せよ。

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B},

2 ≦ s + t ≦ 3,

s ≧ 0,

t ≧ 0

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【数学B/平面ベクトル】点Pの存在範囲（１）

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：

△ O A B

に対して、点

P

が次の条件を満たしながら動くとき、点

P

の存在範囲を図示せよ。

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B},

1 ≦ s ≦ 2,

0 ≦ t ≦ 1

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> ベクトルと平面図形、ベクトル方程式

福田の数学〜大阪大学2023年理系第２問〜ベクトルと領域

福田の数学〜東京大学2023年理系第４問〜球面と三角形が共有点をもつ条件

福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART2)〜4直線に接する球面の決定

【数検2級】高校数学：数学検定2級2次：問題4

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題077〜東京大学2018年度理系第３問〜ベクトル方程式の表す点の存在範囲と面積

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題071〜東京医科歯科大学2017年度医学部第２問〜空間における球面と軌跡の問題

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題034〜東京大学2017年度文系第２問〜点の存在範囲

【数C】ベクトルの基本⑰2直線のなす鋭角を求める

【数C】ベクトルの基本⑯点の存在範囲を考える

ベクトルの簡単すぎる京大の問題【京都大学】【数学 入試問題】

【数C】ベクトルの基本⑮直線の方程式を求める

【数C】ベクトルの基本⑭係数比較、メネラウスの定理でベクトルを求める

【数C】ベクトルが「平行」であるときの典型解法をおさえよう！

【数C】ベクトルの基本⑬内心ベクトルの求め方

【数C】ベクトルの基本⑫位置ベクトルの考え方

【数C】ベクトルの基本⑪平面ベクトルのときの三角形の面積の計算

福田の数学〜立教大学2022年経済学部第２問〜平面ベクトルの直交条件

福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(3)〜垂線の足の位置ベクトル

福田の数学〜慶應義塾大学2022年商学部第２問〜空間ベクトルと平面の方程式

福田の入試問題解説〜慶應義塾大学2022年理工学部第１問(1)〜空間のベクトル方程式

【数B】平面ベクトル：ベクトルの基本① 基本的な考え方「終わり－始め」

福田の数学〜九州大学2022年文系第２問〜点と平面の距離と対称点

福田の数学〜九州大学2022年理系第５問の背景を考える〜内サイクロイド曲線（ハイポサイクロイド、アステロイド）の媒介変数表示

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