問題文全文(内容文)：
$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$
$f(5)=f(-5)=f(-2)=1$
$f(10)=\Box$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
$(\sqrt 5 + 2)^{2022}(\sqrt 5 -2)^{2020}+(\sqrt 5 +2)^{2020}(\sqrt 5 -2)^{2022}$

2022昭和学院秀英高等学校

問題文全文(内容文)：
[2]a,bは正の実数であり、$a\neq 1,b\neq 1$を満たすとする。太郎さんは
$\log_ab$と$\log_ba$の大小関係を調べることにした。
(1)太郎さんは次のような考察をした。
まず、$\log_39=\boxed{\ \ ス\ \ },　\log_93=\frac{1}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$である、この場合

$\log_39 \gt \log_93$
が成り立つ。
一方、$\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ }=-\frac{3}{2},\log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}=-\frac{2}{3}$である。この場合

$\log_{\frac{1}{4}}\boxed{\ \ セ\ \ } \lt \log_{\boxed{セ}}\frac{1}{4}$
が成り立つ。
(2)ここで
$\log_ab=t　\ldots①$
とおく。
(1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、
それが正しいことを確かめることにした。
$\log_ba=\frac{1}{t}　\ldots②$
①により、$\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。このことにより$\boxed{\ \ タ\ \ }$が得られ、②が
成り立つことが確かめられる。

$\boxed{\ \ ソ\ \ }$の解答群
$⓪a^k=t　①a^t=b　②b^a=t$
$③b^t=a　④t^a=b　⑤t^b=a$

$\boxed{\ \ タ\ \ }$の解答群
$⓪a=t^{\frac{1}{b}}　①a=b^{\frac{1}{t}}　②b=t^{\frac{1}{a}}$
$③b=a^{\frac{1}{t}}　④t=b^{\frac{1}{a}}　⑤t=a^{\frac{1}{b}}$

(3)次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして
$t \gt \frac{1}{t}　\ldots③$
を満たす実数$t(t\neq 0)$の値の範囲を求めた。
太郎さんの考察
$t \gt 0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2 \gt 1$を得る。
このような$t(t \gt 0)$の値の範囲は$1 \lt t$である。
$t \lt 0$ならば、③の両辺にtを掛けることにより、$t^2 \lt 1$を得る。
このような$t(t \lt 0)$の値の範囲は$-1 \lt t \lt 0$である。

この考察により、③を満たす$t(t\neq 0)$の値の範囲は
$-1 \lt t \lt 0,　1 \lt t$
であることが分かる。
ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式
$\log_ab \gt \log_ba　\ldots④$
を満たす実数$b(b \gt 0,　b\neq 1)$の値の範囲について考える。
④を満たすbの値の範囲は$a \gt 1$のときは$\boxed{\ \ チ\ \ }$であり、
$0 \lt a \lt 1$のときは$\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ チ\ \ }$の解答群
$⓪0 \lt b \lt \frac{1}{a},　1 \lt b \lt a　　　①0 \lt b \lt \frac{1}{a},　a \lt b$
$②\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt a　　　③\frac{1}{a} \lt b \lt 1,　a \lt b$

$\boxed{\ \ ツ\ \ }$の解答群
$⓪0 \lt b \lt a,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　①0 \lt b \lt a,　\frac{1}{a} \lt b$
$②a \lt b \lt 1,　1 \lt b \lt \frac{1}{a}　　　③a \lt b \lt 1,　\frac{1}{a} \lt b$

(4)$p=\frac{12}{13},　q=\frac{12}{11},　r=\frac{14}{13}$とする。
次の⓪～③のうち、正しいものは$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ テ\ \ }$の解答群
$⓪\log_pq \gt \log_qp$かつ$\log_pr \gt \log_rp$
$①\log_pq \gt \log_qp$かつ$\log_pr \lt \log_rp$
$②\log_pq \lt \log_qp$かつ$\log_pr \gt \log_rp$
$③\log_pq \lt \log_qp$かつ$\log_pr \lt \log_rp$

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
(3) (2)の考察は不定方程式$5^5x-2^5y=1\cdots②$の整数解を調べるために利用できる。
$x,y$を②の整数解とすると$5^5x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割ったときの余りは1となる。
よって(2)により、$5^5x-{625}^2$は$5^5$でも$2^5$割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので、$5^5x-{625}^2$は$5^5\cdot2^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、$x$が3桁の正の整数で最小になるのは、$x=$サシス, $y=$セソタチツであることがわかる。

問題文全文(内容文)：
高校数学加法定理語呂合わせ紹介

問題文全文(内容文)：
[1]座標平面上に点A(-8,0)をとる。また、不等式
$x^2+y^2-4x-10y+4 \leqq 0$
の表す領域をDとする。

(1)領域Dは、中心が点$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ })$、半径が$\boxed{\ \ ウ\ \ }$の円の
$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ エ\ \ }$の解答群
⓪　周　　　①　内部　　　②　外部　　　
③　周および内部　　　④　周および外部　　

以下、点$(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ イ\ \ })$をQとし、方程式
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
の表す図形をCとする。

(2)点Aを通る直線と領域Dが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。
$(\textrm{i})(1)$により、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$は点Aを通るCの接線の一つとなること
がわかる。
太郎さんと花子さんは点Aを通るCのもう一つの接線について話している。
点Aを通り、傾きがkの直線をlとする。

太郎:直線lの方程式は$y=k(x+8)$と表すことができるから、
これを
$x^2+y^2-4x-10y+4=0$
に代入することで接線を求められそうだね。
花子:x軸と直線AQのなす角のタンジェントに着目することでも
求められそうだよ。

$(\textrm{ii})$　太郎さんの求め方について考えてみよう。
$y=k(x+8)$を$x^2+y^2-4x-10y+4=0$に代入すると、
xについての2次方程式
$(k^2+1)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0$
が得られる。この方程式が$\boxed{\ \ カ\ \ }$ときのkの値が接線の傾きとなる。

$\boxed{\ \ カ\ \ }$の解答群
⓪重解をもつ
①異なる２つの実数解をもち、1つは0である
②異なる２つの正の実数解をもつ
③正の実数解と負の実数解をもつ
④異なる2つの負の実数解をもつ
⑤異なる2つの虚数解をもつ

$(\textrm{iii})$花子さんの求め方について考えてみよう。
x軸と直線AQのなす角を$\theta(0 \lt \theta \leqq \frac{\pi}{2})$とすると
$\tan\theta=\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
であり、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$と異なる接線の傾きは$\tan\boxed{\ \ ケ\ \ }$
と表すことができる。

$\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
⓪$\theta$　　　①$2\theta$　　　②$(\theta+\frac{\pi}{2})$
③$(\theta-\frac{\pi}{2})$　　　④$(\theta+\pi)$　　　⑤$(\theta-\pi)$
⑥$(2\theta+\frac{\pi}{2})$　　　⑦$(2\theta-\frac{\pi}{2})$

$(\textrm{iv})$点Aを通るCの接線のうち、直線$y=\boxed{\ \ オ\ \ }$と異なる接線の傾き
を$k_0$とする。このとき、$(\textrm{ii})$または$(\textrm{iii})$の考え方を用いることにより
$k_0=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}$
であることがわかる。
直線lと領域Dが共有点をもつようなkの値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$である。

$\boxed{\ \ シ\ \ }$の解答群
⓪$k \gt k_0$　①$k \geqq k_0$
②$k \lt k_0$　③$k \leqq k_0$
④$0 \lt k \lt k_0$　⑤$0 \leqq k \leqq k_0$

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\overrightarrow{ PA }+3\overrightarrow{ PB }+4\overrightarrow{ PC }=\vec{ 0 }$を満たす$\triangle ABC$の内部に点$P$があるとき、点$P$はどのような位置にあるか。

問題文全文(内容文)：
$log_xy=log_yx=-log_3(x+y)$をみたす実数$x,y$を求めよ。

出典：2016年昭和大学医学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
整数$(x,y)$を求めよ.
$x^2y+7x-2xy=15$

問題文全文(内容文)：
$ax^2-(a^2+a-2)x-2(a+1)$を因数分解せよ

2022昭和学院秀英高等学校

問題文全文(内容文)：
第5問　$\triangle ABC$の重心をGとし、線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。
直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に点Fをとる。
直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。
(1)点Dは線分AGの中点であるとする。
このとき、$\triangle ABC$の形状に関係なく$\frac{AD}{DE}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$
である。また、点Fの位置に関係なく$\frac{BP}{AP}=\boxed{\ \ ウ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }},$
$\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ カ\ \ }×\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$であるので、常に$\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=\boxed{\ \ ケ\ \ }$

$\boxed{\ \ エ\ \ }～\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
⓪BC　①BF　②CF　③EF　④FP　⑤FQ　⑥PQ

(2)$AB=9,　BC=8,　AC=6$とし、(1)と同様に、点Dは線分AGの中点であるとする。
ここで、4点B,C,Q,Pが同一円周上にあるように点Fをとる。このとき、

$AQ=\frac{\boxed{\ \ コ\ \ }}{\boxed{\ \ サ\ \ }}\ AP$であるから
$AP=\frac{\boxed{\ \ シス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }},　AQ=\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チ\ \ }}$であり、
$CF=\frac{\boxed{\ \ ツテ\ \ }}{\boxed{\ \ トナ\ \ }}$である。

(3)$\triangle ABC$の形状や点Fの位置に関係なく、常に$\frac{BP}{AP}+\frac{CQ}{AQ}=10$となるのは
$\frac{AD}{DG}=\frac{\boxed{\ \ ニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$のときである。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$\{ (a-b)^2+b^2 \} \{ (a+b)^2+b^2 \} $=?
(2)$\frac{1}{6} \times \frac{(4^4+4・3^4)(4^4+4・11^4)(4^4+4・19^4)
(4^4+4・27^4)(4^4+4・35^4)}
{(4^4+4・7^4)(4^4+4・15^4)(4^4+4・23^4)(4^4+4・31^4)(4^4+4・39^4)}$

2022市川

問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$と点$P$に対して、以下の等式が成立するとき、点$P$はどのような位置にあるか。
（1）$\overrightarrow{ PA }+\overrightarrow{ PB }+\overrightarrow{ PC }=\overrightarrow{ AC }$
（2）$\overrightarrow{ AP }+\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }=\vec{ 0 }$

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1}(x\sqrt{ 1-x^2 })^3 dx$を計算せよ。

出典：2015年東京医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$A=?$
$\dfrac{A}{2^a}-\dfrac{B}{3^b}-\dfrac{1}{5^4}=\dfrac{337}{2^a・3^b・5^4}$
$1\leqq B\leqq 9,2\leqq a,b\leqq5$

灘中過去問

問題文全文(内容文)：
第4問　
(1)$5^4=625$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式

$5^4x-2^4y=1　\ldots①$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは$x=\boxed{\ \ ア\ \ },y=\boxed{\ \ イウ\ \ }$であることがわかる。
また、①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ エオ\ \ },　y=\boxed{\ \ カキク\ \ }$である。

(2)次に、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りについて考えてみよう。
まず、
$625^2=5^{\boxed{ケ}}$
であり、また$m=\boxed{\ \ イウ\ \ }$とすると、$625^2=2^{\boxed{ケ}}\ m^2+2^{\boxed{コ}}\ m+1$である。
これらにより、$625^2$を$5^5$で割った時の余りと、$2^5$で割った時の余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
$5^5x-2^5y=1　\ldots②$
の整数解を調べるために利用できる。x,yを②の整数解とする。
$5^5x$は$5^5$の倍数であり、$2^5$で割った時の余りは1となる。よって(2)により、
$5^5x-625^2$は$5^5$でも$2^5$でも割り切れる。$5^5$と$2^5$は互いに素なので
$5^5x-625^2$は$5^5・2^5$の倍数である。このことから、②の整数解のうち、
xが3桁の正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ サシス\ \ },　y=\boxed{\ \ セソタチツ\ \ }$
であることが分かる。

(4)$11^4$を$2^4$で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
$11^5x-2^5y=1$
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
$x=\boxed{\ \ テト\ \ },　y=\boxed{\ \ ナニヌネノ\ \ }$　である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
[2]　日本国外における日本語教育の状況を調べるために、独立行政法人国際交流基金では
「海外日本教育機関調査」を実施しており、各国における教育機関数,教員数,学習数
が調べられている。2018年度において学習者数が5000人以上の国と地域(以下、国)
は29ヵ国であった。これら29ヵ国について、2009年度と2018年度のデータが得られている。

(1)　各国において、学習者数を教員数で割ることにより、国ごとの
「教員1人当たりの学習者数」を算出することができる。図1と図2(※動画参照)は、
2009年度および2018年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラム
である。これら二つのヒストグラムから、9年間の変化に関して、後のことが読み取れる。
なお、ヒストグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。

・2009年度と2018年度の中央値が含まれる階級の階級値を比較すると、$\boxed{ケ}$
・2009年度と2018年度の第1四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、$\boxed{コ}$
・2009年度と2018年度の第3四分位数が含まれる階級の階級値を比較すると、$\boxed{サ}$
・2009年度と2018年度の範囲を比較すると、$\boxed{シ}$。
・2009年度と2018年度の四分位範囲を比較すると、$\boxed{ス}$。

$\boxed{ケ}～\boxed{ス}$を次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪　2018年度の方が小さい
①　2018年度の方が大きい
②　両者は等しい
③　これら二つのヒストグラムからだけでは両者の大小を判断できない

(2)各国において、学習者数を教育機関数で割ることにより、「教育機関1機関あたりの
学習者数」も算出した。図3(※動画参照)は、2009年度における
「教育機関1機関あたりの学習者数」の箱ひげ図である。

2009年度について、「教育機関1機関あたりの学習者数」(横軸)と
「教員1人当たりの学習者数」(縦軸)の散布図は$\boxed{セ}$である。ここで、
2009年度における「教員1人当たりの学習者数」のヒストグラムである(1)の図1
を、図4(※動画参照)として再掲しておく。

$\boxed{セ}$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。
(※選択肢は動画参照)

(3)　各国における2018年度の学習者数を100としたときの2009年度の学習者数S,
および、各国における2018年度の教員数を100としたときの2009年度の
教員数Tを算出した。
例えば、学習者数について説明すると、ある国において、2009年度が44272人,
2018年度が174521人であった場合、2009年度の学習者数Sは
\frac{44272}{174521}×100　より25.4と算出される。
表1(※動画参照)はSとTについて、平均値、標準偏差および共分散を計算したものである。
ただし、SとTの共分散は、Sの偏差とTの偏差の積の平均値である。
表1の数値が四捨五入していない正確な値であるとして、SとTの相関係数
を求めると$\boxed{ソ}$,　$\boxed{タチ}$　である。

(4)　表1と(3)で求めた相関係数を参考にすると、(3)で算出した2009年度の
S(横軸)とT(縦軸)の散布図は$\boxed{ツ}$である。

$\boxed{ツ}$については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ
選べ。なお、これらの散布図には、完全に重なっている点はない。
(※選択肢は動画参照)

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$において、辺$BC$を$2:3$に内分する点を$D$, 辺$BC$を$2:1$に外分する点を$E$とし、三角形の重心を$G$とする。
$\overrightarrow{ AB }=\vec{ b },\overrightarrow{ AC }=\vec{ c }$とするとき、次のベクトルを$\vec{ b },\vec{ c }$を用いて表せ。

（1）$\overrightarrow{ AD }$
（2）$\overrightarrow{ AE }$
（3）$\overrightarrow{ AG }$
（4）$\overrightarrow{ GD }$
（5）$\overrightarrow{ DE }$

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{\sin\ x\ \cos\ x}{2+\cos\ x}\ dx$を計算せよ。

出典：2006年関西学院大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$11^5x-2^5y=1$
次の不定方程式を解け.

問題文全文(内容文)：
第1問\ [2]　太郎さんは花子さんは、キャンプ場のガイドブックにある地図を見ながら、
後のように話している。

太郎:キャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角度はどれくらいかな。
花子:地図アプリを使って、地点Aと山頂Bを含む断面図を調べたら、
図1(※動画参照)のようになったよ。点Cは、山頂Bから地点Aを通る水平面に下ろした
垂線とその水平面との交点のことだよ。
太郎:図1の角度\thetaは、AC,BCの長さを定規で測って、
三角比の表を用いて調べたら16°だったよ。
花子:本当に16°なの?図1の鉛直方向の縮尺と水平方向の縮尺は等しい
のかな?

図1の$\theta$はちょうど16°であったとする。しかし、図1の縮尺は、水平方向が$\frac{1}{100000}$
であるのに対して鉛直方向は$\frac{1}{25000}$であった。
実際にキャンプ場の地点Aから山頂Bを見上げる角である$\angle BAC$を考えると、
$\tan\angle BACは\boxed{\ \ コ\ \ }.\boxed{\ \ サシス\ \ }$である。

したがって、$\angle BAC$の大きさは$\boxed{セ}$、ただし、目の高さは無視して考えるものとする。

$\boxed{セ}$の解答群
⓪3°より大きく4°より小さい　①ちょうど4°である　②4°より大きく5°より小さい
③ちょうど16°である　④48°より大きく49°より小さい　⑤ちょうど49°である
⑥49°より大きく50°より小さい　⑦63°より大きく64°より小さい　⑧ちょうど64°である
⑨64°より大きく65°より小さい

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
(1)$$5^{ 4}=625を2^{ 4}で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると,不定方程式
5^{ 4}x-2^{ 4}y=1…式1$$
の整数解のうち,xが正の整数で最小になるのは
$$x=ア,y=イウ$$であることがわかる。
また,式1の整数解のうち,xが2桁の正の整数で最小になるのは$$x=エオ,y=カキク$$である。

問題文全文(内容文)：
(2) 次に625²を5⁵で割ったときの余りと2⁵で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず、\begin{eqnarray}
625² = 5^ケ
\end{eqnarray}
であり、またm=39 とすると、\begin{eqnarray}
625² = 2^ケm^2+2^コm+1
\end{eqnarray}
である。これらより、625²を５⁵で割ったときの余りと、2⁵で割ったときの余りがわかる。

問題文全文(内容文)：
第2問\ [1]　p,qを実数とする。
花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。
$x^2+px+q=0　\ldots①$
$x^2+qx+p=0　\ldots②$
①または②を満たす実数xの個数をnとおく。

(1)$p=4,q=-4$のとき、$n=\boxed{ア}$である。
また、$p=1,q=-2$のとき、$n=\boxed{イ}$である。
(2)$p=-6$のとき、$n=3$になる場合を考える。

花子:例えば、①と②を共に満たす実数xがあるときは$n=3$に
なりそうだね。
太郎:それを$\alpha$としたら、$\alpha^2-6\alpha+q=0と\alpha^2+q\alpha-6=0$が
成り立つよ。
花子:なるほど。それならば、$\alpha^2$を消去すれば、$\alpha$の値が求められそうだね。
太郎:確かに$\alpha$の値が求まるけど、実際に$n=3$となっているか
どうかの確認が必要だね。
花子:これ以外にも$n=3$となる場合がありそうだね。

$n=3$となるqの値は
$q=\boxed{ウ},　\boxed{エ}$
である。ただし、$\boxed{ウ} \lt \boxed{エ}$とする。

$p=-6$に固定したまま、qの値だけを変化させる。
$y=x^2-6x+q　\ldots③$
$y=x^2+qx-6　\ldots④$

(1)この二つのグラフについて、$q=1$のときのグラフを点線で、
qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。
このとき、③のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{オ}$となり、
④のグラフの移動の様子を示すと$\boxed{カ}$となる。

$\boxed{オ},　\boxed{カ}$については、最も適当なものを、次の⓪～⑦
のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
なお、x軸とy軸は省略しているが、x軸は右方向、
y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
(※選択肢は動画参照)

(4)$\boxed{ウ} \lt q \lt \boxed{エ}$とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、
Uの部分集合A,Bを

$A=\left\{x\ |\ x^2-6x+q \lt 0 \right\}$
$B=\left\{x\ |\ x^2+qx-6 \lt 0 \right\}$

とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合を$\bar{ X }$と表す。このとき、
次のことが成り立つ。

・$x \in A$は、$x \in B$であるための$\boxed{キ}$。
・$x \in B$は、$x \in \bar{ A }$であるための$\boxed{ク}$。

$\boxed{キ},　\boxed{ク}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪必要条件であるが、十分条件ではない
①十分条件であるが、必要条件ではない
②必要十分条件である
③必要条件でも十分条件でもない

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
$ 2次方程式x^2+ax+b=0の解の1つが3+iであるとき,
実数の定数a,bの値を求めよ.$

問題文全文(内容文)：
$x,y,z$：正の整数
$x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz+2yz-5=0$をみたす組（$x,y,z$）をすべて求めよ。

出典：2001年京都大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\dfrac{(x^2+1)^2}{x(x+1)^2}=\dfrac{9}{2}$
これを解け.

問題文全文(内容文)：
第3問\ 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、プレゼントは
全て異なるとする。
プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順:外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、
各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の
プレゼントを受け取る。

交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換をやり直す。
そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
(1)2人または3人で交換会を開く場合を考える。
$(\textrm{i})$2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{ア}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{イ}}{\boxed{ウ}}$である。
$(\textrm{ii})$3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は
$\boxed{エ}$通りある。したがって1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{オ}}{\boxed{カ}}$である。
$(\textrm{iii})$3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{キク}}{\boxed{ケコ}}$である。

(2)4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を
次の構想に基づいて求めてみよう。
構想:1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。
そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は
$\boxed{サ}$通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は$\boxed{シ}$通りある。
このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方のうち、1回目の交換で交換会が
終了しない受け取り方の総数は$\boxed{スセ}$である。
したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}$である。

(3)5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は$\frac{\boxed{チツ}}{\boxed{テト}}$である。
\(4)A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dがそれぞれ自分以外
の人の持参したプレゼントを受け取った時、その回で交換会が終了する
条件付き確率は$\frac{\boxed{ナニ}}{\boxed{ヌネ}}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第1問\ [3]　外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。点Aから直線BCへ引いた垂線と直線BC
との交点をDとする。

(1)$AB=5,　AC=4$とする。このとき$\sin\angle ABC=\frac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}},　AD=\frac{\boxed{チツ}}{\boxed{テ}}$　である。

(2)　2辺AB,ACの長さの間に$2AB+AC=14$の関係があるとする。
このとき、ABの長さの取り得る値の範囲は$\boxed{ト} \leqq AB \leqq \boxed{ナ}$であり、
$AD=\frac{\boxed{ニヌ}}{\boxed{ネ}}AB^2+\frac{\boxed{ノ}}{\boxed{ハ}}AB$と表せるので、ADの長さの最大値は$\boxed{ヒ}$である。

2022共通テスト数学過去問

問題文全文(内容文)：
第1問\ [1]　実数a,b,cが$a+b+c=1\ldots①$および$a^2+b^2+c^2=13\ldots②$を満たしているとする。
(1)$(a+b+c)^2$を展開した式において、①と②を用いると$ab+bc+ca=\boxed{アイ}$
であることが分かる。
よって、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=\boxed{ウエ}$である。

(2)$a-b=2\sqrt5$の場合に、$(a-b)(b-c)(c-a)$の値を求めてみよう。
$b-c=x,　c-a=y$とおくと、$x+y=\boxed{オカ}\sqrt5$である。また(1)の計算から
$x^2+y^2=\boxed{キク}$が成り立つ。これらより
$(a-b)(b-c)(c-a)=\boxed{ケ}\sqrt5$　である。

2022共通テスト数学過去問