数学(高校生)
数学(高校生)
【数A】【図形の性質】作図の応用 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。
Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。
直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。
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線分ABが与えられたとき, 線分ABを斜辺とし, ∠BAC=60° である直角三角形ABC を作図せよ。
右の図のような円があり,その周上に点Aがある。
Aを頂点の1つとし、他の5つの頂点がいずれもこの円周上にあるような正六角形を作図せよ。
右の図のように,直線と円Oおよびその中心が与えられている。
直線lに平行な円Oの接線を作図せよ。
【数A】【図形の性質】円の位置関係 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
図のように，数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、
この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。
Pの座標をtとするとき,次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。
(1) 2円O，Pの共通接線が4本引ける。
(2) 2円O，Pの共有点が1個である。
(3) 2円O，Pの共通接線が、座標が6である数直線上の点Aを通る。
図のように，半径3の外接する2円A, B
が、半径8の円Oに内接している。2円A, B
に外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。
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図のように，数直線上の原点を中心とする半径3の円Oと、
この数直線上を動く点Pを中心とする半径2の円Pがある。
Pの座標をtとするとき,次の件を満たすとの値,またはtの値の範囲を求めよ。
(1) 2円O，Pの共通接線が4本引ける。
(2) 2円O，Pの共有点が1個である。
(3) 2円O，Pの共通接線が、座標が6である数直線上の点Aを通る。
図のように，半径3の外接する2円A, B
が、半径8の円Oに内接している。2円A, B
に外接し，円Oに内接する円Cの半径を求めよ。
福田の数学〜東京大学2025文系第2問〜三角形の3頂点を中心とする3つの円で3辺を含む条件と三角形を含む条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
平面上で$AB=AC=1$である
二等辺三角形$ABC$を考える。
正の実数$r$に対し、$A,B,C$それぞれを中心とする
半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする。
ただし、この問いでは、
三角形と円は周とその内部からなるものとする。
辺$AB,AC,BC$がすべて$D_r$に
含まれるような最小の$r$を$s$、
三角形$ABC$が
$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す。
(1)$\angle BAC=\dfrac{\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(2)$\angle BAC=\dfrac{2\pi}{3}$のとき、$s$と$t$を求めよ。
(3)$0\lt \theta \lt \pi$を満たす$\theta$に対して、
$\angle BAC=\theta$のとき、$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ。
$2025$年東京大学文系過去問題
【中学数学】2次関数の問題～2024年度北海道公立高校入試大問3～【高校受験】
単元：
#数学(中学生)#中３数学#数Ⅰ#２次関数#2次関数#2次関数とグラフ#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
ユキさんたちのクラスでは、数学の授業で関数のグラフについてコンピュータを使って学習しています。次の問いに答えなさい。
問1 先生が提示した画面1には、関数$y=x^{ 2 }$のグラフと、このグラフ上の2点A、Bを通る直線が表示されています。点Aの$x$座標は3、点Bの$x$座標は-2です。点Oは原点とします。
ユキさんは、画面1を見て、2点A、Bを通る直線の式を求めたいと考え、求め方について、次のような見通しを立てています。
ユキさんの見通し
2点A、Bを通る直線の式を求めるには、2点A、Bの座標がわかれば良い。
次の(1)、(2)に答えなさい。
(1)点Aの$y$座標を求めなさい。
(2)ユキさんの見通しを用いて、2点A、Bを通る直線の式を求めなさい。
問2 △PQRが直角二等辺三角形になる時の$t$の値を求めなさい。
先生が提示した画面2には2つの関数$y=2x^{ 2 }$・・・①，$y=\frac{1}{2}x^{ 2 }$・・・②のグラフが表示されています。①のグラフ上に点Pがあり、点Pの$x$座標は$t$です。点Qは、点Pと$y$軸について対称な点です。また、点Rは、点Pを通り、$y$軸に平行な直線と②のグラフとの交点です。点Oは原点とし、$t$＞0とします。
ユキさんたちは、点Pを①のグラフ上で動かすことで、△PQRがどのように変化するかについて、話し合っています。
ユキさん「点Pを動かすと、点Qと点Rも同時に動くね。」
ルイさん「このとき、△PQRはいつでも直角三角形になるね。」
ユキさん「・・・あれ？△PQRが直角に等辺三角形に見えるときがあるよ？」
ルイさん「本当に直角二等辺三角形になるときがあるのかな。」
ユキさん「じゃあ、△PQRが直角二等辺三角形になるときの点Pの座標を求めてみようか。」
ルイさん「点Pの座標を求めるには、$t$の値がわかればいいね。」
△PQRが直角二等辺三角形になるときの$t$の値を求めなさい。
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ユキさんたちのクラスでは、数学の授業で関数のグラフについてコンピュータを使って学習しています。次の問いに答えなさい。
問1 先生が提示した画面1には、関数$y=x^{ 2 }$のグラフと、このグラフ上の2点A、Bを通る直線が表示されています。点Aの$x$座標は3、点Bの$x$座標は-2です。点Oは原点とします。
ユキさんは、画面1を見て、2点A、Bを通る直線の式を求めたいと考え、求め方について、次のような見通しを立てています。
ユキさんの見通し
2点A、Bを通る直線の式を求めるには、2点A、Bの座標がわかれば良い。
次の(1)、(2)に答えなさい。
(1)点Aの$y$座標を求めなさい。
(2)ユキさんの見通しを用いて、2点A、Bを通る直線の式を求めなさい。
問2 △PQRが直角二等辺三角形になる時の$t$の値を求めなさい。
先生が提示した画面2には2つの関数$y=2x^{ 2 }$・・・①，$y=\frac{1}{2}x^{ 2 }$・・・②のグラフが表示されています。①のグラフ上に点Pがあり、点Pの$x$座標は$t$です。点Qは、点Pと$y$軸について対称な点です。また、点Rは、点Pを通り、$y$軸に平行な直線と②のグラフとの交点です。点Oは原点とし、$t$＞0とします。
ユキさんたちは、点Pを①のグラフ上で動かすことで、△PQRがどのように変化するかについて、話し合っています。
ユキさん「点Pを動かすと、点Qと点Rも同時に動くね。」
ルイさん「このとき、△PQRはいつでも直角三角形になるね。」
ユキさん「・・・あれ？△PQRが直角に等辺三角形に見えるときがあるよ？」
ルイさん「本当に直角二等辺三角形になるときがあるのかな。」
ユキさん「じゃあ、△PQRが直角二等辺三角形になるときの点Pの座標を求めてみようか。」
ルイさん「点Pの座標を求めるには、$t$の値がわかればいいね。」
△PQRが直角二等辺三角形になるときの$t$の値を求めなさい。
福田のおもしろ数学426〜99個の分数の積を効率よく求める
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\prod_{ k = 1 }^n ak=a_1a_2\cdots a_n
\end{eqnarray}$とするとき、
$\displaystyle \prod_{k=2}^{100} \dfrac{k^3+1}{k^3-1}$を求めよ。
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$\begin{eqnarray}
\prod_{ k = 1 }^n ak=a_1a_2\cdots a_n
\end{eqnarray}$とするとき、
$\displaystyle \prod_{k=2}^{100} \dfrac{k^3+1}{k^3-1}$を求めよ。
福田の数学〜東京大学2025文系第1問〜放物線とその法線の交点のx座標の最小値
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$a$を正の実数とする。
座標平面において、
放物線$C:y=x^2$上の点$P(a,a^2)$に
おける$C$の接線と直交し、$P$を通る直線を$\ell$とおく。
$\ell$と$C$の交点のうち、$P$と異なる点を$Q$と置く。
(1)$Q$の$x$座標を求めよ。
$Q$における$C$の接線と直交し、$Q$を通る直線を$m$とおく。
$m$と$C$の交点のうち、$Q$と異なる点を$R$とおく。
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき、
$R$の$x$座標の最小値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
$a$を正の実数とする。
座標平面において、
放物線$C:y=x^2$上の点$P(a,a^2)$に
おける$C$の接線と直交し、$P$を通る直線を$\ell$とおく。
$\ell$と$C$の交点のうち、$P$と異なる点を$Q$と置く。
(1)$Q$の$x$座標を求めよ。
$Q$における$C$の接線と直交し、$Q$を通る直線を$m$とおく。
$m$と$C$の交点のうち、$Q$と異なる点を$R$とおく。
(2)$a$がすべての正の実数を動くとき、
$R$の$x$座標の最小値を求めよ。
$2025$年東京大学文系過去問題
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明8 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1)a>0のとき、a+16/a の最小値を求めよ。
(2)a>0のとき、(a+1/a)(a+16/a) の最小値を求めよ。
(3)a>0 ,b>0 ,ab=12のとき、a+b の最小値を
求めよ。
(4)a>0 ,b>0 ,$2a+3b=4\sqrt{2}$ のとき、abの最大値を求めよ。
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(1)a>0のとき、a+16/a の最小値を求めよ。
(2)a>0のとき、(a+1/a)(a+16/a) の最小値を求めよ。
(3)a>0 ,b>0 ,ab=12のとき、a+b の最小値を
求めよ。
(4)a>0 ,b>0 ,$2a+3b=4\sqrt{2}$ のとき、abの最大値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明7 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a>0,b>0,c>0のとき、(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
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a>0,b>0,c>0のとき、(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc が成り立つことを証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明6 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0＜a＜b$ ,$a+b=2$のとき、$1$ ,$ab$ ,$a^2+b^2$ を小さい方から順に並べよ。
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$0＜a＜b$ ,$a+b=2$のとき、$1$ ,$ab$ ,$a^2+b^2$ を小さい方から順に並べよ。
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明5 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a>0 ,b>0のとき、$\sqrt{ab}$ , $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}$ の大小関係を調べよ。
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a>0 ,b>0のとき、$\sqrt{ab}$ , $\displaystyle \frac{2ab}{a+b}$ の大小関係を調べよ。
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
不等式$\sqrt{a^2+b^2}≦|a|+|b|≦\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}$ を証明せよ。
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不等式$\sqrt{a^2+b^2}≦|a|+|b|≦\sqrt{2}\sqrt{a^2+b^2}$ を証明せよ。
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a>b≧c>0 のとき、次の空欄に記号≧ ,≦ ,> ,<のどれかを記入して正しい関係が成り立つようにせよ。ただし、これが不可能の場合には×とせよ。
(1)$2(ac+b^2 ) □ b(4a+c)$
(2)$a^2+2bc□2ab+ca$
(3)$a^2+2(b^2+c^2) □2a(b+c)$
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a>b≧c>0 のとき、次の空欄に記号≧ ,≦ ,> ,<のどれかを記入して正しい関係が成り立つようにせよ。ただし、これが不可能の場合には×とせよ。
(1)$2(ac+b^2 ) □ b(4a+c)$
(2)$a^2+2bc□2ab+ca$
(3)$a^2+2(b^2+c^2) □2a(b+c)$
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)$x^2+y^2≧6(x-y-3)$
(2)$a^2-ab+b^2≧a+b-1$
(3)$x^2+xy+y^2+3z(x+y+z)≧0$
(4)$\displaystyle \frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}≧\displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3}$
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次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
(1)$x^2+y^2≧6(x-y-3)$
(2)$a^2-ab+b^2≧a+b-1$
(3)$x^2+xy+y^2+3z(x+y+z)≧0$
(4)$\displaystyle \frac{(a^2+b^2+c^2)}{3}≧\displaystyle \frac{(a+b+c)^2}{3}$
【数Ⅱ】【式と証明】不等式の証明1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#式と証明#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を証明せよ。
(1)$(x^4+y^4)(x^2+y^2 )≧(x^3+y^3 )^2$
(2)$x^4+y^4≧x^3 y+xy^3$
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次の不等式を証明せよ。
(1)$(x^4+y^4)(x^2+y^2 )≧(x^3+y^3 )^2$
(2)$x^4+y^4≧x^3 y+xy^3$
福田の数学〜東京大学2025理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡と実部の最大最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
複素数平面上の点$\dfrac{1}{2}$を中心とする
半径$\dfrac{1}{2}$の円の周から原点を除いた曲線を
$C$とする。
(1)曲線$C$上の複素数$z$に対し、$\dfrac{1}{z}$の実部は
$1$であることを示せ。
(2)$\alpha,\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき、
$\dfrac{1}{alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$がとりうる範囲を
複素数平面上に図示せよ。
(3)$\nu $を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
$\dfrac{1}{\gamma}$の実部がとりうる値の
最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
複素数平面上の点$\dfrac{1}{2}$を中心とする
半径$\dfrac{1}{2}$の円の周から原点を除いた曲線を
$C$とする。
(1)曲線$C$上の複素数$z$に対し、$\dfrac{1}{z}$の実部は
$1$であることを示せ。
(2)$\alpha,\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき、
$\dfrac{1}{alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}$がとりうる範囲を
複素数平面上に図示せよ。
(3)$\nu $を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき、
$\dfrac{1}{\gamma}$の実部がとりうる値の
最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京大学理系過去問題
福田のおもしろ数学425〜8次方程式が等差数列をなす4つの実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
方程式$x^8+ax^4+1=0$が
等差数列をなす$4$つの実数解をもつとき、
実数$a$の値を求めよ。
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方程式$x^8+ax^4+1=0$が
等差数列をなす$4$つの実数解をもつとき、
実数$a$の値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明6 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1) $x+y+z=-1 ,xy+yz+zx+xyz=0$ ならば、$x ,y ,z$ のうち少なくとも1つは$-1$であることを示せ。
(2) $(bc+ca+ab)(a+b+c)=abc$ならば、$a ,b ,c$ のうちどれか2つの和は$0$であることを示せ。
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(1) $x+y+z=-1 ,xy+yz+zx+xyz=0$ ならば、$x ,y ,z$ のうち少なくとも1つは$-1$であることを示せ。
(2) $(bc+ca+ab)(a+b+c)=abc$ならば、$a ,b ,c$ のうちどれか2つの和は$0$であることを示せ。
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明5 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\dfrac {(x+y)}{2z}=\dfrac{(y+z)}{2x}=\dfrac{(z+x)}{2y}$のとき、この式の値を求めよ。
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$\dfrac {(x+y)}{2z}=\dfrac{(y+z)}{2x}=\dfrac{(z+x)}{2y}$のとき、この式の値を求めよ。
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明4 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x+y+z=0 ,2x^2+2y^2-z^2=0$ のとき、$x=y$ であることを証明せよ。
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$x+y+z=0 ,2x^2+2y^2-z^2=0$ のとき、$x=y$ であることを証明せよ。
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a:b:c=x:y:z$のとき、
次の等式が成り立つことを証明せよ。
$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$
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$a:b:c=x:y:z$のとき、
次の等式が成り立つことを証明せよ。
$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz)^2$
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\dfrac {y+z}{b-c}=\dfrac{z+x}{c-a}=\dfrac{x+y}{a-b}$ のとき、
$x+y+z=0$ であることを証明せよ。
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$\dfrac {y+z}{b-c}=\dfrac{z+x}{c-a}=\dfrac{x+y}{a-b}$ のとき、
$x+y+z=0$ であることを証明せよ。
【数Ⅱ】【式と証明】等式の証明1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a+b+c=0$のとき、
次の等式が成り立つことを証明せよ。
$a(\dfrac1b+\dfrac1c)+b(\dfrac1c+\dfrac1a)+c(\dfrac1a+\dfrac1b)=-3$
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$a+b+c=0$のとき、
次の等式が成り立つことを証明せよ。
$a(\dfrac1b+\dfrac1c)+b(\dfrac1c+\dfrac1a)+c(\dfrac1a+\dfrac1b)=-3$
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小11 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
一直線をなす海岸の地点Aから海岸線に垂直に9km離れた沖の船にいる人が､Aから海岸にそって15km離れた地点Bに最短時間で到着するためには､AB間のAからどれだけ離れた地点に上陸すればよいか｡ただし､地点B以外で上陸した場合､上陸した後は歩いて地点Bに向かうものとし､船の速さは4km/h､人の歩く速さは5km/hとする｡
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一直線をなす海岸の地点Aから海岸線に垂直に9km離れた沖の船にいる人が､Aから海岸にそって15km離れた地点Bに最短時間で到着するためには､AB間のAからどれだけ離れた地点に上陸すればよいか｡ただし､地点B以外で上陸した場合､上陸した後は歩いて地点Bに向かうものとし､船の速さは4km/h､人の歩く速さは5km/hとする｡
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小10 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
半径rの球に外接する直円錐について
(1) 体積の最小値を求めよ
(2) 表面積の最小値を求めよ
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半径rの球に外接する直円錐について
(1) 体積の最小値を求めよ
(2) 表面積の最小値を求めよ
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小9 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
定点A(a,b)を通る傾きが負の直線と､x軸およびy軸とが作る三角形の面積Sの最小値を求めよ｡ただし､a＞0,b＞0とする｡
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定点A(a,b)を通る傾きが負の直線と､x軸およびy軸とが作る三角形の面積Sの最小値を求めよ｡ただし､a＞0,b＞0とする｡
福田の数学〜東京大学2025理系第5問〜バブルソートが題材となった数が整列する条件を漸化式にする
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$n$を$2$以上の整数とする。
$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、
横一列におかれている。
$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、
次の操作$(T_i)$を考える。
$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、
左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、
これら$2$枚の札の位置を入れ替える。
そうでなければ、札の位置を変えない。
最初の状態において札の数字は左から
$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。
この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を
順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作
$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、
札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。
以下の問いに答えよ。
(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。
(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方
$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。
$n$が$4$以上の整数であるとき、
$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$n$を$2$以上の整数とする。
$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり、
横一列におかれている。
$1$以上$(n-1)$以下の整数$i$に対して、
次の操作$(T_i)$を考える。
$(T_i)$左から$i$番目の札の数字が、
左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ、
これら$2$枚の札の位置を入れ替える。
そうでなければ、札の位置を変えない。
最初の状態において札の数字は左から
$A_1,A_2,\cdots A_n$であったとする。
この状態から$(n-1)$回の操作$(T_1),(T_2),\cdots (T_{n-1})$を
順に行った後、続けて$(n-1)$回の操作
$(T_{n-1}),\cdots ,(T_2),(T_1)$を順に行ったところ、
札の数字は左から$1,2,\cdots ,n$と小さい順に並んだ。
以下の問いに答えよ。
(1)$A_1$と$A_2$の少なくとも一方は$2$以下であることを示せ。
(2)最初の状態としてありうる札の数字の並び方
$A_1,A_2,\cdots 、A_n$no総数を$c_n$とする。
$n$が$4$以上の整数であるとき、
$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ。
$2025$年東京大学理系過去問題
福田のおもしろ数学424〜直角二等辺三角形の斜辺を1：2：√3に内分する点がAと作る角が45°になる証明
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
直角二等辺三角形$ABC$で
斜辺$BC$を$1:2:\sqrt3$に
分ける点を順に$D,E$とする。
$\angle DAE=45°$
であることを証明せよ。
図は動画内参照
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直角二等辺三角形$ABC$で
斜辺$BC$を$1:2:\sqrt3$に
分ける点を順に$D,E$とする。
$\angle DAE=45°$
であることを証明せよ。
図は動画内参照
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小8 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $y=a(x-\sin 2x)$ $ \displaystyle(-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$の最大値が$\pi$であるように、定数$a$の値を定めよ。
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関数 $y=a(x-\sin 2x)$ $ \displaystyle(-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$の最大値が$\pi$であるように、定数$a$の値を定めよ。
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小7 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の関数の最大値、最小値を求めよ。
(1) $ \displaystyle y= \frac{x-1}{x^2+1}$
(2) $y=x- \sqrt{x^2-1}$
(3) $y= \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{(x-3)^2+4}$
(4) $y=|x|e^x$
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次の関数の最大値、最小値を求めよ。
(1) $ \displaystyle y= \frac{x-1}{x^2+1}$
(2) $y=x- \sqrt{x^2-1}$
(3) $y= \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{(x-3)^2+4}$
(4) $y=|x|e^x$
【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小6 ※問題文は概要欄
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $f(x)=x+ \dfrac{a}{x-1}$の極大値が$-1$となるように、定数$a$の値を定めよ。ただし、$a \neq 0$とする。
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関数 $f(x)=x+ \dfrac{a}{x-1}$の極大値が$-1$となるように、定数$a$の値を定めよ。ただし、$a \neq 0$とする。