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■問題文
直径が2である円Oにおいて、1つの直径ABをBの方に延長して、BC=2ABとなる点Cをとる。また、Cから円Oに接線CTを引き、その接点をTとする。線分CT,ATの長さを求めよ。

右の図のように、点Aで同じ直線に接する2円O、O´がある。
この接線上のAと異なる点Bを通る1本の直線が円Oと2点C,Dで交わり, Bを通る他の直線が円 O′と2点E,Fで交わるとする。このとき, 4点 C, D, E, F は1つの円周上にあることを証明せよ。

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素数が無限にあるユニークな数の証明に関して解説していきます

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$5x+3y=521$をみたす自然数$x,y$の組の個数を求めよ。

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大、中、小3個のさいころを投げるとき、目の積が4の倍数になる場合は何通りあるか。

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[1]$c$を正の整数とする。$x$の2次方程式
　　$2x^2+(4c-3)x+2c^2-c-11=0$　について考える。

(1)$c=1$のとき、①の左辺を因数分解すると
　　$([ア]x+[イ])(x-[ウ])$
　　であるから、①の解は
　　$x=-\displaystyle \frac{[イ]}{[ア]},[ウ]$である。

(2)$c=2$のとき、①の解は
　　$x=\displaystyle \frac{-[エ] \pm \sqrt{ [オカ] }}{[キ]}$
　　であり、大きい方の解を$a$とすると
　　$\displaystyle \frac{5}{a}=\displaystyle \frac{[ク] + \sqrt{ [ケコ] }}{[サ]}$
　　である。また、$m<\displaystyle \frac{5}{a}<m+1$を満たす整数は[シ]である。

(3)太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。
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太郎:①の解は$c$の値によって、ともに有理数である場合もあれば、
　　 ともに無理数である場合もあるね。
　　 $c$がどのような値のときに、解は有理数になるのかな。

花子:2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
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①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数$c$の個数は[ス]個である。