福田の数学〜大阪大学2022年文系第３問〜6分の1公式の証明と面積の最小

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)実数

α, β

に対し、

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{(α - β)^{3}}{6}

が成り立つことを示せ。
(2)a,bを

b > a^{2}

を満たす定数とし、座標平面に点

A (a, b)

をとる。さらに、
点Aを通り、傾きがkの直線をlとし、直線lと放物線

y = x^{2}

で囲まれた部分の面積を

S (k)

とする。kが実数全体を動くとき、

S (k)

の最小値を求めよ。

2022大阪大学文系過去問

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1)実数

α, β

に対し、

\int_{α}^{β} (x - α) (x - β) d x = \frac{(α - β)^{3}}{6}

が成り立つことを示せ。
(2)a,bを

b > a^{2}

を満たす定数とし、座標平面に点

A (a, b)

をとる。さらに、
点Aを通り、傾きがkの直線をlとし、直線lと放物線

y = x^{2}

で囲まれた部分の面積を

S (k)

とする。kが実数全体を動くとき、

S (k)

の最小値を求めよ。

2022大阪大学文系過去問

投稿日：2022.04.27

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
愛媛大学過去問題

x^{2009}

を

x^{2} + 1

で割った時の余りを求めよ。

香川大学

6 n^{5} - 15 n^{4} + 10 n^{3} - n

は30の倍数であることを示せ。

大分大学

a_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n} - s_{n}

のときの一般項を求めよ。

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

である。

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指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sqrt{x} + \sqrt{y} = 20

l o g_{10} x + l o g_{10} y

の最大値を求めよ。

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指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

k, l, m, n

は負でない整数
0でない全ての

x

に対して等式

\frac{(x + 1)^{k}}{x^{l}} - 1 = \frac{(x + 1)^{m}}{x^{n}}

が成り立つ

(k, l, m . n)

出典：東京大学　過去問

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次の分数式を約分せよ。

\frac{a^{3} - a^{2} b + a b^{2}}{a^{3} + b^{3}}

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