問題文全文(内容文)：
【高校数学】立体の問題のポイント・重要公式集
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球の中に正四面体ABCDが内接している。
正四面体ABCDの一辺の長さをaとし、球の半径をRとするとき、Rをaを用いて示しなさい。


正四面体ABCDに球が内接している。
このとき、球の半径rをaを用いて表しなさい。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 3}}$ 一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、点Aから3点B,C,Dを含む平面に垂線AHを下ろす。また、辺ABを1：2に内分する点をP、辺ACを2：1に内分する点をQ、辺ADを$t$：1-$t$に内分する点をRとする。ただし、
0<$t$<1　とする。
(1)AHの長さは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ア}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{イ}}}}$　であり、正四面体ABCDの体積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ウ}\mathrm{エ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{オ}}}}$　である。
(2)AHと三角形PQRの交点をXとすると、$\overrightarrow{AX}$=$\boxed{{\displaystyle \mathrm{カ}}}\overrightarrow{AH}$　である。
(3)三角形PQRの面積は$\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{キ}\mathrm{ク}}}{t}^2-\boxed{{\displaystyle \mathrm{ケ}\mathrm{コ}}}t+\boxed{{\displaystyle \mathrm{サ}\mathrm{シ}}}}$　である。
(4)$t$=$\frac{1}{2}$　のとき、四面体APQRの体積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{ス}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{セ}}}}$で、点Aから3点P,Q,Rを通る平面に垂線AYを下ろすと、AYの長さは$\frac{\boxed{{\displaystyle \mathrm{ソ}}}\sqrt{\boxed{{\displaystyle \mathrm{タ}}}}}{\boxed{{\displaystyle \mathrm{チ}}}}$　である。

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$ 図のような1辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHにおいて、辺AD上に点Pをとり、線分APの長さをpとする。このとき、線分AGと線分FPは四角形ADGF上で交わる。その交点をXとする。(※図は動画参照)
(1)線分AXの長さをpを用いて表せ。
(2)三角形APXの面積をpを用いて表せ。
(3)四面体ABPXと四面体EFGXの体積の和をVとする。
Vをpを用いて表せ。
(4)点Pを辺AD上で動かすとき、Vの最小値を求めよ。

2023名古屋大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 1}}$ (3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$である。
(ii)0＜$s$＜1とし、線分MNを$s$：$(1-s)$に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$であり、その面積は$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$である。

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{あ}}}$の選択肢
(a)1　(b)$\sqrt{2}$　(c)$\sqrt{3}$　(d)2　(e)$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$　(f)$\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{い}}}$の選択肢
(a)正三角形　(b)正三角形でない二等辺三角形　(c)二等辺三角形でない三角形　(d)長方形　(e)長方形でない平行四辺形　(f)平行四辺形でない四角形

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{う}}}$の選択肢
(a)$s^2$　(b)$(1-s{)}^2$　(c)$s(1-s)$　(d)$s\sqrt{1-s^2}$　
(e)$2s^2$　(f)$2(1-s{)}^2$　(g)$2s(1-s)$　(h)$2s\sqrt{1-s^2}$　
(i)$4s^2$　(j)$4(1-s{)}^2$　(k)$4s(1-s)$　(l)$4s\sqrt{1-s^2}$　

問題文全文(内容文)：
$\boxed{{\displaystyle 2}}$　
図(※動画参照)のように、1辺の長さが$2$である立方体$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}-\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{G}\mathrm{H}$の内側に、正方形$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$に内接する円を底面にもつ高さ$2$の円柱$V$をとる。次の設問に答えよ。
(1)立方体の対角線$\mathrm{A}\mathrm{G}$と円柱$V$の共通部分と得られる線分の長さを求めよ。
(2)$W$を三角柱$\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}-\mathrm{D}\mathrm{C}\mathrm{G}$と三角柱$\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{H}-\mathrm{B}\mathrm{F}\mathrm{G}$の共通部分とする。円柱$V$の側面と$W$の共通部分に含まれる線分の長さの最大値を求めよ。

2021早稲田大学商学部過去問