問題文全文(内容文)：
数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。

2022東京大学理系

問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
$k$を2以上の自然数とする。
$x$の整式$(1+x)^k$において$x^2$の係数を求めよ。

（2）
$n$を２以上の自然数とする。
$x$の整式$\displaystyle \sum_{k=1}^n(1+x)^k$において$x^2$の係数を$a_n$とする。
　　（ⅰ）$a_n$を求めよ。
　　（ⅱ）$S_n=\displaystyle \frac{1}{a_2}+\displaystyle \frac{1}{a_3}+・・・+\displaystyle \frac{1}{a_n}$を求めよ。

問題文全文(内容文)：
特性方程式の漸化式
分かりやすく丁寧に解説していきます。

問題文全文(内容文)：
$a_1=1$であり,$a_{n+1}=2a_n+1$である.
$a_n$が素数なら$n$は素数であることを示せ.

問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
$k$を$0$以上の整数とするとき、$\displaystyle \frac{x}{3}+\displaystyle \frac{y}{2} \leqq k$をみたす$0$以上の整数$x,y$の組$(x,y)$の個数を$a_k$とする。
$a_k$を$k$の式で表せ。

（2）
$n$を$0$以上の整数とするとき
$\displaystyle \frac{x}{3}+\displaystyle \frac{y}{2}+z \leqq n$
をみたす$0$以上の整数$x,y,z$の組$(x,y,z)$の個数を$b_n$とする。
$b_n$を$n$の式で表せ。