【数Ⅲ】【微分とその応用】不等式の応用2 ※問題文は概要欄

問題文全文(内容文)：
　次のことが成り立つことを証明せよ。

(1)　

b ≧ a > 0

のとき　

l o g b - l o g a ≧ \frac{2 (b - a)}{(b + a)}

(2)　

0 ＜ α ＜ β ≦ \frac{π}{2}

のとき　

\frac{α}{β} < \frac{s i n α}{s i n β}

チャプター：

0:00　問題概要
0:35　証明の方針
1:10　(1)解答
4:13　(2)解答

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
　次のことが成り立つことを証明せよ。

(1)　

b ≧ a > 0

のとき　

l o g b - l o g a ≧ \frac{2 (b - a)}{(b + a)}

(2)　

0 ＜ α ＜ β ≦ \frac{π}{2}

のとき　

\frac{α}{β} < \frac{s i n α}{s i n β}

投稿日：2025.01.22

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　絶対不等式(1)

a^{x} ≧ x

が任意の正の実数xに対して成り立つような
正の定数aの値の範囲を求めよ。　　

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問題文全文(内容文)：
数学

III

　微分(12)　微分計算

y = \sqrt[3]{\frac{2 x + 1}{x (x - 2)^{2}}}

を微分せよ。

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問題文全文(内容文)：

f (x) = x - \sqrt{x^{2}}

は

x = 0

で微分可能出ないことを示せ.

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
曲線

C : y = (x + 1) e^{- x} (x > - 1)

上の点Pにおける法線とx軸との交点をQとする。
点Pのx座標をtとし、点Qと点R(t,0)との距離をd(t)とする。
(1)　d(t)をtを用いて表せ。
(2)　

x ≧ 0

のとき　

e^{x} ≧ 1 + x + \frac{x^{2}}{2}

であることを示せ。
(3)　点Pが曲線C上を動くとき、d(t)の最大値を求めよ。

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指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

[1]正の整数kに対し、

A_{k} = \int_{\sqrt{k π}}^{\sqrt{(k + 1) π}} | \sin (x^{2}) | d x

とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{1}{\sqrt{(k + 1) π}}

≦

A_{k}

≦

\frac{1}{\sqrt{k π}}

[2]正の整数nに対し、

B_{n}

\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{\sqrt{n π}}^{\sqrt{2 n π}} | \sin (x^{2}) | d x

とおく。
極限

lim_{n \to \infty} B_{n}

を求めよ。

2023東京大学理系過去問

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