問題文全文(内容文)：
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。
(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。
(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。
(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。
(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。
(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。
(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。
$m$を$0$以上の整数、$n$を$1$以上の整数、$t$を $0 < t < 1$ を満たす実数とし、$F(m, n)$を
$F(m, n)= \displaystyle \sum_{k=m}^{m+n-1} {{}_k \mathrm{ C }_m t^k}$
で定める。
(1) $p$を整数とする。
$
A = \dfrac{(t - 1) F(m + 1, n) + tF(m, n)}{t ^ p}
$
が$t$によらない値となる$p$と、そのときの$A$を求めよ。
(2)極限 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } F(m, n)$ が収束することを示し、その極限値を求めよ。ただし、$0 < s < 1$のとき
$ \displaystyle \lim_{ k \to \infty }k ^ m s ^ k$
であることは用いてよい。
投稿日：2024.07.30
