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東京大学 2021年理科・文科第４問（３）
以下の問いに答えよ。
(1)正の奇数K,Lと正の整数A,BがKA=LBを満たしているとする。Kを4で割った余りがLを4で割った余りと等しいならば、Aを4で割った余りはBを4で割った余りと等しいことを示せ。
(2)正の整数a,bがa>bを満たしているとする。このとき、$A=_{4a+1}C_{4b+1},B=aCb$に対してKA=LBとなるような正の奇数K,Lが存在することを示せ。
(3)a,bは(2)の通りとし、さらにa-bが2で割り切れるとする。$_{4a+1}C_{4b+1}ｗｐ4$で割った余りは${}_a\mathrm{C}_b$を4で割った余りと等しいことを示せ。
(4)2021C37を4で割った余りを求めよ。

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旭川医科大学過去問題
a,b,cはどの2つも互いに素な自然数。$a^2+b^2=c^2$を満たすとき、次の(1)～(3)を示せ。
(1)cは奇数である
(2)a,bの1つは3の倍数
(3)a,bの1つは4の倍数

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$1$から$1000$までの整数全体の集合を$U$とする。$U$の部分集合$A,B$をそれぞれ$A=\{x|xは5の倍数\},B=\{x|xは7の倍数\}$とするとき、$\overline A \cap \overline B$の要素の個数$n(\overline A \cap \overline B)$を求めよ。

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自然数a,bが互いに素なら,$a-b$と$b$も互いに素であることを示せ.$(a \gt b)$

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$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+2025}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めて下さい。